Résumé de cours : compléments de topologie des espaces vectoriels normés
$(E,\|\cdot\|),(F,\|\cdot\|)$ désignent des espaces vectoriels normés sur le corps $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.Parties compactes d'un espace vectoriel normé
- Une partie $K$ de $E$ est dite compacte si, de toute suite $(u_n)$ d'éléments de $K$, on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de $K$.
- En particulier, toute réunion finie ou toute intersection finie de parties compactes est compacte.
- Proposition : Toute partie compacte de $E$ est fermée et bornée.
- Un segment $[a,b]$ est une partie compacte de $\mathbb R$. En particulier, les parties compactes de $\mathbb R$ ou de $\mathbb C$ sont les parties fermées et bornées.
- Proposition : Si $A$ est une partie compacte de $E$ et si $B\subset A$ est fermé, alors $B$ est compact.
- Théorème : Une suite d'éléments d'une partie compacte de $E$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
- Théorème : Si $E=E_1\times\dots\times E_p$ est un espace vectoriel normé produit, et si pour chaque $i=1,\dots,p$, $A_i$ est une partie compacte de $E_i$, alors $A=A_1\times\dots\times A_p$ est une partie compacte de $E$.
Applications continues sur une partie compacte
- Théorème : Soit $f:K\to F$ une application continue où $K$ est une partie compacte de $E$. Alors $f(K)$ est un compact de $F$.
- En particulier, si $f:K\to\mathbb R$ avec $K$ compact, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
- Théorème de Heine: Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Parties connexes par arcs
- Soit $A$ une partie de $E$, et $x,y\in A$. On appelle chemin continu tracé dans $A$ de $x$ vers $y$ toute application continue $f:[0,1]\to A$ vérifiant $f(0)=x$ et $f(1)=y$.
- Une partie $A$ de $E$ est connexe par arcs si, pour tous $x,y\in A$, il existe un chemin continu de $x$ vers $y$ tracé dans $A$.
- Toute partie convexe est connexe par arcs. Toute partie étoilée est connexe par arcs.
- Théorème : Les parties connexes par arcs de $\mathbb R$ sont les intervalles.
- Théorème : Soit $f:A\to F$ continue. Si $A$ est connexe par arcs, alors $f(A)$ est connexe par arcs.
- Corollaire : L'image d'un intervalle par une fonction continue à valeurs réelles est un intervalle.
- Si $A$ est une partie de $E$, on définit une relation d'équivalence sur $A$ par $x\sim y$ s'il existe un chemin continu tracé dans $A$ joignant $x$ à $y$. Les classes d'équivalence pour cette relation d'équivalence sont des parties connexes par arcs de $A$, et ce sont les parties connexes par arcs de $A$ maximales pour l'inclusion. On les appelle les composantes connexes par arcs de A. En particulier, $A$ est réunion de ses composantes connexes par arcs.
Espaces vectoriels normés de dimension finie
- Théorème : Sur un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
- En particulier, si $(u_n)$ est une suite d'un espace vectoriel normé de dimension finie, $(u_n)$ converge si et seulement si chacune de ses coordonnées dans une base converge.
- Théorème : Une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
- Corollaire : Toute suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie admet une suite extraite convergente.
- Corollaire : Une suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
- Théorème : Un espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach.