$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Anneaux et arithmétique

Anneaux

On appelle anneau la donnée d'un ensemble $A$ et de deux lois de composition interne notées $+$ et $\times$ sur $A$ vérifiant les propriétés suivantes :

  1. $(A,+)$ est un groupe abélien dont le neutre sera noté $0_A$;
  2. La loi $\times$ est associative : pour tous $a,b,c\in A$, $a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$;
  3. la loi $\times$ possède un élément neutre noté $1_A$;
  4. la loi $\times$ est distributive par rapport à la loi $+$, c'est-à-dire que pour tout $a,b,c\in A$, on a $$a\times(b+c)=a\times b+a\times c\textrm{ et }(b+c)\times a=b\times a+c\times a.$$

Lorsque la loi $\times$ est commutative, on dit que l'anneau est commutatif.

Exemples : $(\mathbb Z,+,\times)$, $(\mathbb R,+,\times)$, $(\mathbb C,+,\times)$ sont des anneaux commutatifs. $(\mathcal M_n(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau qui n'est pas commutatif.

Règles de calculs dans un anneau : soit $A$ un anneau, et $a,b\in A$. Alors
  • $a\times 0_A=0_A\times a=0_A$;
  • pour tout $n\in\mathbb Z$, $n(ab)=(na)b=a(nb)$;
  • $(-a)(-b)=ab$;
  • si $a$ et $b$ commutent, $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k}\textrm{ et }a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}.$$

Dans un anneau $A$, tous les éléments $a\in A$ n'admettent pas forcément d'inverse pour la loi $\times$. Lorsque c'est le cas, on dit que $a$ est inversible et on note son inverse $a^{-1}$. L'ensemble des éléments inversible de l'anneau est noté $U(A)$. C'est un groupe pour la loi $\times.$

Si $A$ est un anneau et $B$ est une partie de $A$, on dit que $B$ est un sous-anneau de $A$ si $B$ est stable pour les lois $+$ et $\times$ et si $B$ munit des lois $+$ et $\times$ est un anneau.

Proposition (caractérisation des sous-anneaux) : Une partie $B$ de l'anneau $A$ est un sous-anneau de $A$ si et seulement si :
  • $1_A\in B$;
  • pour tous $a,b\in B$, $a-b\in B$;
  • pour tous $a,b\in B$, $a\times b\in B$.

Soit $A,B$ deux anneaux. Une application $f:A\to B$ est un morphisme d'anneaux si les conditions suivantes sont vérifiées :

  1. $f(1_A)=1_B$;
  2. pour tous $a,b\in A$, on a $f(a+b)=f(a)+f(b)$;
  3. pour tous $a,b\in A$, on a $f(a\times b)=f(a)\times f(b)$.

Lorsque $f$ est bijective, on parle d'isomorphisme d'anneaux. Remarquons que pour un morphisme d'anneaux $f:A\to B,$ on a toujours $f(0_A)=0_B$ et $f(na)=nf(a),$ avec $n\in\mathbb Z$ et $a\in A.$

Si $A$ et $B$ sont deux anneaux, on munit $A\times B$ d'une structure d'anneau en posant $(a,b)+ (a',b')=(a+a',b+b')$ et $(a,b) \times (a',b')=(a\times a',b\times b')$.

Corps

Un anneau $A$ est intègre s'il est commutatif, et si l'équation $a\times b=0$ entraîne $a=0$ ou $b=0$.

Exemples : $\mathbb Z$, $\mathbb R$ et $\mathbb C$ sont des anneaux intègres. En revanche, pour $n\geq 2$, $\mathcal M_n(\mathbb R)$ n'est pas intègre.

Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible.

Exemples : $\mathbb R$ et $\mathbb C$ sont des corps. En revanche, $\mathbb Z$ n'est pas un corps et pour $n\geq 2$, $\mathcal M_n(\mathbb R)$ n'est pas un corps.

Une partie $\mathbb L$ d'un corps $\mathbb K$ est un sous-corps de $\mathbb K$ si c'est un sous-anneau de $\mathbb K$ tel que, pour tout $x\in \mathbb L,$ $x\neq 0,$ alors $x^{-1}\in\mathbb L.$ $\mathbb L$ est alors un corps pour les lois induites par celles de $\mathbb K.$

Idéaux - divisibilité

Soit $A$ un anneau commutatif. Une partie $I$ de $A$ est un idéal si $(I,+)$ est un groupe et si, pour tout $a\in A$ et tout $u\in I$, alors $au\in I$ (propriété d'absorbtion).

Exemple : Le noyau d'un morphisme d'anneaux commutatifs est un idéal.
Proposition : Une partie $I$ de $A$ est un idéal si et seulement si $I$ est non vide et vérifie :
  • pour tous $x,y\in I$, $x-y\in I$;
  • pour tout $x\in I$ et tout $a\in A$, $ax\in I$.
Proposition : Soit $I$ et $J$ deux idéaux de $A$. Alors $I\cap J$ et $I+J$ sont deux idéaux de $A.$

Si $x$ est un élément de $A$, alors $xA=\{xa;\ a\in A\}$ est un idéal de $A$ et c'est le plus petit idéal contenant $x$. On l'appelle idéal engendré par $x.$

Si $A$ est intègre et $x,y\in A$, on dit que $x$ divise $y$ lorsqu'il existe $c\in A$ tel que $cx=y$.

Proposition : Soit $A$ un anneau commutatif intègre et $x,y\in A$. Alors $x$ divise $y$ si et seulement si $yA\subset xA$.
Anneau $\mathbb Z$

$(\mathbb Z,+,\times)$ est un anneau commutatif intègre dont les éléments inversibles sont $+1$ et $-1.$

Théorème : Les idéaux de $\mathbb Z$ sont les ensembles $n\mathbb Z$ pour $n\in\mathbb N$.

Soit $a_1,\dots,a_r$ des entiers. Alors $a_1\mathbb Z+\cdots+a_r \mathbb Z$ est un idéal de $\mathbb Z.$ Il existe donc un unique entier naturel $d$ tel que $a_1\mathbb Z+\cdots+a_r\mathbb Z=d\mathbb Z.$ Cet entier $d$ s'appelle le pgcd de $a_1,\dots,a_r.$ On le note $a_1\wedge \cdots\wedge a_r.$

Proposition : Soit $a_1,\dots,a_r\in\mathbb Z$ et $d\in\mathbb N.$ Alors $d=a_1\wedge\cdots\wedge a_r$ si et seulement si :
  • $d|a_1|,\dots,d|a_r;$
  • pour tout entier $k$ tel que $k|a_1,\dots,k|a_r$, alors $k|d.$

Soit $a_1,\dots,a_r$ des entiers. Alors $a_1\mathbb Z\cap\cdots\cap a_r\mathbb Z$ est un idéal de $\mathbb Z.$ Il existe donc un unique entier naturel $m$ tel que $a_1\mathbb Z\cap \cdots\cap a_r\mathbb Z=m\mathbb Z.$ Cet entier $m$ s'appelle le ppcm de $a_1,\dots,a_r$ et on le note $a_1\vee\cdots\vee a_r.$

Anneau de polynômes

Dans ce paragraphe, $\mathbb K$ désigne un sous-corps de $\mathbb C$.

Théorème : Les idéaux de $\mathbb K[X]$ sont les idéaux $(P)$ engendrés par un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ : $( P)=\{AP;\ A\in\mathbb K[X]\}.$ De plus, on a $(P)=(Q)$ si et seulement si il existe $\lambda\in\mathbb K^*$ tel que $Q=\lambda P$.

Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes de $\mathbb K[X]$, l'ensemble $$(P)+(Q)=\{AP+BQ;\ A,B\in\mathbb K[X]\}$$ est un idéal de $\mathbb K[X]$. Il existe un unique polynôme unitaire $D\in\mathbb K[X]$ tel que $( P)+(Q)=(D)$. $D$ s'appelle le pgcd de $P$ et $Q$ et est noté $P\wedge Q.$ On dit que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux si $P\wedge Q=1$.

Théorème de Bézout : Soient $P,Q\in\mathbb K[X]$ non-nuls. Alors $P\wedge Q=1$ si et seulement s'il existe $U,V\in\mathbb K[X]$ tels que $UP+VQ=1$.
Lemme de Gauss : Soient $P,Q,R\in\mathbb K[X]$ non-nuls. On suppose que $P\wedge Q=1$. Alors si $P|QR$, on a $P|R$.

On peut généraliser la définition du pgcd à un nombre fini de polynômes $P_1,\dots,P_r$ : le pgcd de ces polynômes est l'unique polynôme unitaire $D\in\mathbb K[X]$ tel que $(D)$ est égal à l'idéal $\{A_1P_1+\dots+A_rP_r:\ A_1,\dots,A_r\in\mathbb K[X]\}$. On le note $P_1\wedge\cdots\wedge P_r.$ En particulier, si $P_1\wedge\cdots\wedge P_r=Q,$ il existe $U_1,\dots,U_r\in\mathbb K[X]$ tel que $\sum_{i=1}^r U_i P_i=Q.$

Un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ est irréductible s'il est de degré supérieur ou égal à 1 et si tous ses diviseurs sont les polynômes constants ou les polynômes associés à $P$ (c'est-à-dire les polynômes qui s'écrivent $\lambda P$ avec $\lambda\in\mathbb K$).

Théorème : Tout polynôme $P\in\mathbb K[X]$ s'écrit $$P=\lambda P_1\cdots P_r$$ où $\lambda\in\mathbb K$ et où les $P_i$ sont des polynômes irréductibles et unitaires de $\mathbb K[X]$. De plus, cette décomposition est unique à l'ordre des termes près.
Théorème : Les polynômes irréductibles de $\mathbb C[X]$ sont les polynômes de degré 1.
Théorème : Les polynômes irréductibles de $\mathbb R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.
L'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$

Soit $n\geq 2$. On rappelle que la relation de congruence modulo $n$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb Z$ : $k\equiv \ell\ [n]\iff k-\ell\in n\mathbb Z$. On note $\bar k$ la classe d'équivalence de $k$, et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation.

Exemple : Dans $\mathbb Z/6\mathbb Z,$ on a $\bar 1=\overline{13}=\overline{-5}.$

En considérant le reste de la division euclidienne par $n,$ on constate que tout entier est toujours congru modulo $n$ à un entier compris entre $0$ et $n-1.$ On a en particulier $\mathbb Z/n\mathbb Z=\{\bar 0,\bar 1,\dots,\overline {n-1}\}$ et donc le cardinal de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est égal à $n.$

Théorème : On définit une addition et une multiplication sur $\mathbb Z/n\mathbb Z$ en posant $$\bar k+\bar \ell=\overline{k+\ell}$$ $$\bar k\times \bar \ell=\overline{k\times l}.$$ Ces deux opérations font de $(\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\times)$ un anneau commutatif d'élément neutre $\bar 0$ et d'unité $\bar 1.$ L'application $\psi:\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z$, $k\mapsto \bar k$ est alors un morphisme surjectif d'anneaux.
Exemple : Dans $\mathbb Z/7\mathbb Z,$ on a $$\bar 9+\bar 3=\overline{12}=\bar 5\textrm{ et }\bar 9\times\bar 3=\overline{27}=\bar 6.$$
Théorème : Soit $(n,k)\in\mathbb N^*\times \mathbb Z.$ Alors $\bar k$ est inversible dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ si et seulement $k\wedge n=1$.
Corollaire : Soit $n\in\mathbb N^*$. Alors $(\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\times)$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.

Pour $p$ un nombre premier, on note $\mathbb F_p$ le corps $\mathbb Z/p\mathbb Z.$

Théorème chinois : Si $m,n\geq 1$ sont des entiers premiers entre eux, alors l'application $$\begin{array}{rcl} \mathbb Z/mn\mathbb Z&\to&\mathbb Z/m\mathbb Z\times \mathbb Z/n\mathbb Z\\ \bar k&\mapsto &(\hat k,\tilde k), \end{array} $$ où $\bar k,\ \hat k$ et $\tilde k$ désignent la classe de $k$ dans respectivement $\mathbb Z/mn\mathbb Z,$ $\mathbb Z/m\mathbb Z$ et $\mathbb Z/n\mathbb Z$, est bien définie et est un isomorphisme d'anneaux.
Corollaire : Si $m,n\geq 1$ sont des entiers premiers entre eux, alors pour tout $(a,b)\in\mathbb Z^2,$ le système $$\left\{ \begin{array}{rcll} x&\equiv&a\ [m]\\ x&\equiv&b\ [n]\\ \end{array}\right.$$ admet toujours une solution. De plus, si $k$ est une solution, alors les solutions de ce système sont exactement les entiers congrus à $k$ modulo $mn.$
Corollaire : Si $n_1,\dots,n_r\geq 1$ sont des entiers premiers entre eux deux à deux, alors $\mathbb Z/(n_1\cdots n_r)\mathbb Z$ et $(\mathbb Z/n_1\mathbb Z)\times\cdots\times (\mathbb Z/n_r\mathbb Z)$ sont isomorphes.

Soit $n\in\mathbb N^*$. On note $\varphi(n)$ le nombre d'éléments inversibles dans l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$. C'est également le nombre d'entiers de $\{0,\dots,n-1\}$ qui sont premiers avec $n$. On appelle indicatrice d'Euler la fonction $\varphi:\mathbb N^*\to\mathbb N^*.$

Théorème : L'indicatrice d'Euler vérifie les propriétés suivantes :
  • Si $p$ est un nombre premier et $k\geq 1,$ alors $$\varphi(p^k)=p^{k}-p^{k-1}.$$
  • Si $m,n\geq 1$ sont premiers entre eux, alors $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n).$
En particulier, si la décomposition en produit de facteurs premiers de $n\geq 1$ est $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$, alors $$\varphi(n)=\prod_{i=1}^r (p_i^{\alpha_i}-p_i^{\alpha_i-1}).$$
Théorème d'Euler : Pour tout entier naturel $n\geq 2$ et tout entier $k$ premier avec $n$, on a $k^{\varphi(n)}\equiv 1\ [n].$

Puisque si $p$ est un nombre premier, $\varphi(p)=p-1,$ ce théorème constitue une extension du petit théorème de Fermat.

Algèbre

Dans ce paragraphe, $\mathbb K$ est un corps. On appelle $\mathbb K$-algèbre un ensemble muni de deux lois internes $+$ et $\times$ et d'une loi externe sur le corps $\mathbb K$, notée $\cdot$, telles que

  • $(E,+,\times)$ est un anneau;
  • $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb K$;
  • Pour tout $\alpha\in\mathbb K$, pour tout $(x,y)\in E^2$, on a $$(\alpha \cdot x)\times y=x\times (\alpha\cdot y)=\alpha\cdot(x\times y).$$
Exemples : $(\mathbb K[X],+,\times,\cdot)$, $(\mathcal L(E),+,\circ,\cdot)$ où $E$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel, $(\mathcal M_n(\mathbb K),+,\times,\cdot)$ où $n\geq 1$, l'ensemble des fonctions $(\mathcal F(X,\mathbb K),+,\times,\cdot)$ d'un ensemble $X$ dans $\mathbb K$, sont des $\mathbb K$-algèbres.

Une partie $F$ d'une algèbre $E$ est une sous-algèbre de $E$ si, munie des lois $+$, $\times$, $\cdot$ héritées de $E$, c'est une algèbre.

Si $E$ et $F$ sont deux algèbres, une application $f:E\to F$ est un morphisme d'algèbre si c'est un morphisme d'anneaux et une application linéaire.