Résumé de cours : Anneaux et arithmétique
On appelle anneau la donnée d'un ensemble $A$ et de deux lois de composition interne notées $+$ et $\times$ sur $A$ vérifiant les propriétés suivantes :
- $(A,+)$ est un groupe abélien dont le neutre sera noté $0_A$;
- La loi $\times$ est associative : pour tous $a,b,c\in A$, $a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$;
- la loi $\times$ possède un élément neutre noté $1_A$;
- la loi $\times$ est distributive par rapport à la loi $+$, c'est-à-dire que pour tout $a,b,c\in A$, on a $$a\times(b+c)=a\times b+a\times c\textrm{ et }(b+c)\times a=b\times a+c\times a.$$
Lorsque la loi $\times$ est commutative, on dit que l'anneau est commutatif.
Exemples : $(\mathbb Z,+,\times)$, $(\mathbb R,+,\times)$, $(\mathbb C,+,\times)$ sont des anneaux commutatifs. $(\mathcal M_n(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau qui n'est pas commutatif.
- $a\times 0_A=0_A\times a=0_A$;
- pour tout $n\in\mathbb Z$, $n(ab)=(na)b=a(nb)$;
- $(-a)(-b)=ab$;
- si $a$ et $b$ commutent, $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k}\textrm{ et }a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}.$$
Dans un anneau $A$, tous les éléments $a\in A$ n'admettent pas forcément d'inverse pour la loi $\times$. Lorsque c'est le cas, on dit que $a$ est inversible et on note son inverse $a^{-1}$. L'ensemble des éléments inversible de l'anneau est noté $U(A)$. C'est un groupe pour la loi $\times.$
Si $A$ est un anneau et $B$ est une partie de $A$, on dit que $B$ est un sous-anneau de $A$ si $B$ est stable pour les lois $+$ et $\times$ et si $B$ munit des lois $+$ et $\times$ est un anneau.
- $1_A\in B$;
- pour tous $a,b\in B$, $a-b\in B$;
- pour tous $a,b\in B$, $a\times b\in B$.
Soit $A,B$ deux anneaux. Une application $f:A\to B$ est un morphisme d'anneaux si les conditions suivantes sont vérifiées :
- $f(1_A)=1_B$;
- pour tous $a,b\in A$, on a $f(a+b)=f(a)+f(b)$;
- pour tous $a,b\in A$, on a $f(a\times b)=f(a)\times f(b)$.
Lorsque $f$ est bijective, on parle d'isomorphisme d'anneaux. Remarquons que pour un morphisme d'anneaux $f:A\to B,$ on a toujours $f(0_A)=0_B$ et $f(na)=nf(a),$ avec $n\in\mathbb Z$ et $a\in A.$
Si $A$ et $B$ sont deux anneaux, on munit $A\times B$ d'une structure d'anneau en posant $(a,b)+ (a',b')=(a+a',b+b')$ et $(a,b) \times (a',b')=(a\times a',b\times b')$.
Un anneau $A$ est intègre s'il est commutatif, et si l'équation $a\times b=0$ entraîne $a=0$ ou $b=0$.
Exemples : $\mathbb Z$, $\mathbb R$ et $\mathbb C$ sont des anneaux intègres. En revanche, pour $n\geq 2$, $\mathcal M_n(\mathbb R)$ n'est pas intègre.
Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible.
Exemples : $\mathbb R$ et $\mathbb C$ sont des corps. En revanche, $\mathbb Z$ n'est pas un corps et pour $n\geq 2$, $\mathcal M_n(\mathbb R)$ n'est pas un corps.
Une partie $\mathbb L$ d'un corps $\mathbb K$ est un sous-corps de $\mathbb K$ si c'est un sous-anneau de $\mathbb K$ tel que, pour tout $x\in \mathbb L,$ $x\neq 0,$ alors $x^{-1}\in\mathbb L.$ $\mathbb L$ est alors un corps pour les lois induites par celles de $\mathbb K.$
Soit $A$ un anneau commutatif. Une partie $I$ de $A$ est un idéal si $(I,+)$ est un groupe et si, pour tout $a\in A$ et tout $u\in I$, alors $au\in I$ (propriété d'absorbtion).
- pour tous $x,y\in I$, $x-y\in I$;
- pour tout $x\in I$ et tout $a\in A$, $ax\in I$.
Si $x$ est un élément de $A$, alors $xA=\{xa;\ a\in A\}$ est un idéal de $A$ et c'est le plus petit idéal contenant $x$. On l'appelle idéal engendré par $x.$
Si $A$ est intègre et $x,y\in A$, on dit que $x$ divise $y$ lorsqu'il existe $c\in A$ tel que $cx=y$.
$(\mathbb Z,+,\times)$ est un anneau commutatif intègre dont les éléments inversibles sont $+1$ et $-1.$
Soit $a_1,\dots,a_r$ des entiers. Alors $a_1\mathbb Z+\cdots+a_r \mathbb Z$ est un idéal de $\mathbb Z.$ Il existe donc un unique entier naturel $d$ tel que $a_1\mathbb Z+\cdots+a_r\mathbb Z=d\mathbb Z.$ Cet entier $d$ s'appelle le pgcd de $a_1,\dots,a_r.$ On le note $a_1\wedge \cdots\wedge a_r.$
- $d|a_1|,\dots,d|a_r;$
- pour tout entier $k$ tel que $k|a_1,\dots,k|a_r$, alors $k|d.$
Soit $a_1,\dots,a_r$ des entiers. Alors $a_1\mathbb Z\cap\cdots\cap a_r\mathbb Z$ est un idéal de $\mathbb Z.$ Il existe donc un unique entier naturel $m$ tel que $a_1\mathbb Z\cap \cdots\cap a_r\mathbb Z=m\mathbb Z.$ Cet entier $m$ s'appelle le ppcm de $a_1,\dots,a_r$ et on le note $a_1\vee\cdots\vee a_r.$
Dans ce paragraphe, $\mathbb K$ désigne un sous-corps de $\mathbb C$.
Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes de $\mathbb K[X]$, l'ensemble $$(P)+(Q)=\{AP+BQ;\ A,B\in\mathbb K[X]\}$$ est un idéal de $\mathbb K[X]$. Il existe un unique polynôme unitaire $D\in\mathbb K[X]$ tel que $( P)+(Q)=(D)$. $D$ s'appelle le pgcd de $P$ et $Q$ et est noté $P\wedge Q.$ On dit que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux si $P\wedge Q=1$.
On peut généraliser la définition du pgcd à un nombre fini de polynômes $P_1,\dots,P_r$ : le pgcd de ces polynômes est l'unique polynôme unitaire $D\in\mathbb K[X]$ tel que $(D)$ est égal à l'idéal $\{A_1P_1+\dots+A_rP_r:\ A_1,\dots,A_r\in\mathbb K[X]\}$. On le note $P_1\wedge\cdots\wedge P_r.$ En particulier, si $P_1\wedge\cdots\wedge P_r=Q,$ il existe $U_1,\dots,U_r\in\mathbb K[X]$ tel que $\sum_{i=1}^r U_i P_i=Q.$
Un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ est irréductible s'il est de degré supérieur ou égal à 1 et si tous ses diviseurs sont les polynômes constants ou les polynômes associés à $P$ (c'est-à-dire les polynômes qui s'écrivent $\lambda P$ avec $\lambda\in\mathbb K$).
Soit $n\geq 2$. On rappelle que la relation de congruence modulo $n$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb Z$ : $k\equiv \ell\ [n]\iff k-\ell\in n\mathbb Z$. On note $\bar k$ la classe d'équivalence de $k$, et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation.
En considérant le reste de la division euclidienne par $n,$ on constate que tout entier est toujours congru modulo $n$ à un entier compris entre $0$ et $n-1.$ On a en particulier $\mathbb Z/n\mathbb Z=\{\bar 0,\bar 1,\dots,\overline {n-1}\}$ et donc le cardinal de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est égal à $n.$
Pour $p$ un nombre premier, on note $\mathbb F_p$ le corps $\mathbb Z/p\mathbb Z.$
Soit $n\in\mathbb N^*$. On note $\varphi(n)$ le nombre d'éléments inversibles dans l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$. C'est également le nombre d'entiers de $\{0,\dots,n-1\}$ qui sont premiers avec $n$. On appelle indicatrice d'Euler la fonction $\varphi:\mathbb N^*\to\mathbb N^*.$
- Si $p$ est un nombre premier et $k\geq 1,$ alors $$\varphi(p^k)=p^{k}-p^{k-1}.$$
- Si $m,n\geq 1$ sont premiers entre eux, alors $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n).$
Puisque si $p$ est un nombre premier, $\varphi(p)=p-1,$ ce théorème constitue une extension du petit théorème de Fermat.
Dans ce paragraphe, $\mathbb K$ est un corps. On appelle $\mathbb K$-algèbre un ensemble muni de deux lois internes $+$ et $\times$ et d'une loi externe sur le corps $\mathbb K$, notée $\cdot$, telles que
- $(E,+,\times)$ est un anneau;
- $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb K$;
- Pour tout $\alpha\in\mathbb K$, pour tout $(x,y)\in E^2$, on a $$(\alpha \cdot x)\times y=x\times (\alpha\cdot y)=\alpha\cdot(x\times y).$$
Une partie $F$ d'une algèbre $E$ est une sous-algèbre de $E$ si, munie des lois $+$, $\times$, $\cdot$ héritées de $E$, c'est une algèbre.
Si $E$ et $F$ sont deux algèbres, une application $f:E\to F$ est un morphisme d'algèbre si c'est un morphisme d'anneaux et une application linéaire.