Préparer sa kholle : Suites et séries de fonction
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé 

Soit $(f_n)_{n\geq 1}$ la suite de fonctions définies sur $[0,1]$ par
$\displaystyle f_n(x)=\frac{2^n x}{1+2^n nx^2}.$
- Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
- Calculer $I_n=\int_0^1 f_n(t)dt$ et $\lim_{n\to+\infty}I_n$. En déduire que la suite $(f_n)$ n'est pas uniformément convergente sur $[0,1]$.
- Donner une démonstration directe du fait que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$.
L'exercice standard
Enoncé 

Pour $x \geq 0$ et $n \geq 1$, on pose $f_n(x) = \dfrac
x{\sqrt{n}(x+n)}$.
- Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est simplement convergente sur $\mathbb R_+$. On note $f$ sa somme.
- Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est normalement convergente sur $[0, M]$ pour tout $M>0$. Est-elle normalement convergente sur $\mathbb R_+$ ?
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb R_+$ puis qu'elle est dérivable et croissante sur $\mathbb R_+$.
- Soit $n \geq 1$ et $x_0 \geq n \geq 1$. Montrer que $f(x_0) \geq \displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac 1{2\sqrt{k}}}$. En déduire que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = +\infty}$.
- Montrer que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}x =0}$.
L'exercice pour les héros
Exercice 3 


- Convergence uniforme et composition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soient $I$ et $J$ deux intervalles et $(g_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $J$ qui converge uniformément sur $I$
vers une fonction $g$. Soit $f\in C^0(J,\mathbb R)$ et $(h_n)$ la suite définie par $h_n=f\circ g_n$.
- Montrer que si $J$ est un segment, alors la suite $(h_n)$ converge uniformément.
- Que se passe-t-il si on ne suppose plus que $J$ est un segment?