Préparer sa kholle : Suites et séries de fonction

Exercice 1

- Étude qualitative [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(f_n)_{n\geq 1}$ la suite de fonctions définies sur $[0,1]$ par $\displaystyle f_n(x)=\frac{2^n x}{1+2^n nx^2}.$

Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
Calculer $I_n=\int_0^1 f_n(t)dt$ et $\lim_{n\to+\infty}I_n$. En déduire que la suite $(f_n)$ n'est pas uniformément convergente sur $[0,1]$.
Donner une démonstration directe du fait que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$.

Indication

Corrigé

Exercice 2

- Étude [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $x \geq 0$ et $n \geq 1$, on pose $f_n(x) = \dfrac x{\sqrt{n}(x+n)}$.

Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est simplement convergente sur $\mathbb R_+$. On note $f$ sa somme.
Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est normalement convergente sur $[0, M]$ pour tout $M>0$. Est-elle normalement convergente sur $\mathbb R_+$ ?
Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb R_+$ puis qu'elle est dérivable et croissante sur $\mathbb R_+$.
Soit $n \geq 1$ et $x_0 \geq n \geq 1$. Montrer que $f(x_0) \geq \displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac 1{2\sqrt{k}}}$. En déduire que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = +\infty}$.
Montrer que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}x =0}$.

Indication

Corrigé

Le réel $x$ étant fixé dans $\mathbb R_+$, $f_n(x)\sim_{+\infty}\frac{x}{n^{3/2}}$ si $x\neq 0$, et $f_n(0)=0$. Ceci prouve la convergence de $\sum_n f_n(x)$.
Pour $x\in[0,M]$, on a $$0\leq f_n(x)\leq \frac{M}{\sqrt n(0+n)}=\frac{M}{n\sqrt n}.$$ Le membre de droite est le terme général d'une série numérique convergente. On a donc prouvé la convergence normale de $\sum_n f_n$ sur $[0,M]$. La convergence n'est pas normale sur $\mathbb R$. En effet, on a $$\|f_n\|_\infty\geq f_n(n)=\frac{n}{\sqrt n(n+n)}=\frac{1}{2\sqrt n}$$ et $\sum_n \|f_n\|_\infty$ est divergente.
La série de fonctions convergeant normalement, donc uniformément, sur tout intervalle $[0,M]$, et chaque fonction $f_n$ étant continue, la somme $f$ est continue sur tout intervalle $[0,M]$, donc sur $\mathbb R$. Pour montrer la dérivabilité sur $\mathbb R$, on va s'intéresser à la série des dérivées $\sum_n f_n'$. En effet, chaque $f_n$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R_+$ et un calcul simple prouve que $$f_n'(x)=\frac{\sqrt n}{(x+n)^2}.$$ On va prouver la convergence normale de $\sum_n f_n'$ sur tout $[0,+\infty[$. On a en effet, pour $x\geq 0$, $$0\leq f_n'(x)\leq \frac{1}{n^{3/2}}.$$ Le membre de droite est une série numérique convergente, $\sum_n f_n'$ converge normalement sur $[0,+\infty[$ et donc $f$ est de classe $C^1$ sur $[0,+\infty[$ avec $f'(x)=\sum_n f_n'(x)\geq 0$ puisque chaque $f_n'$ est positive. Ainsi, $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$.
Si $x_0\geq n\geq 1$, alors $$f(x_0)\geq \sum_{k=1}^n \frac{x_0}{\sqrt k(x_0+n)}.$$ Puisque $2x_0\geq x_0+n$, on a $$\frac{x_0}{x_0+n}\geq\frac 12$$ et on trouver bien que $$f(x_0)\geq \sum_{j=1}^n \frac{1}{2\sqrt k}$$ (on pouvait aussi démontrer cette propriété en utilisant la croissance de $f$ et plus particulièrement l'inégalité $f(x_0)\geq f(n)$). Déduisons en que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$. Fixons $A>0$. La série $\sum_{k\geq 1} \frac 1{2\sqrt k}$ étant positive et divergente, on peut trouver un entier $n>0$ tel que $\sum_{k=1}^n\frac1{2\sqrt k}\geq A$. Pour tout $x\geq n$, on a $$f(x)\geq\sum_{k=1}^n\frac{1}{2\sqrt k}\geq A.$$ Ceci implique que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
On sait que $$\frac{f(x)}{x}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt n(x+n)}.$$ De plus, la série $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{\sqrt n(x+n)}$ converge normalement sur $\mathbb R_+$. En effet, pour tout $x\geq 0$, on a $$\left|\frac1{\sqrt n(x+n)}\right|\leq \frac{1}{n^{3/2}},$$ terme général d'une série convergente. De plus, $$\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt n(n+x)}=0.$$ D'après le théorème d'interversion des limites, $$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\sum_{n\geq 1}0=0.$$

Exercice 3

- Convergence uniforme et composition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soient $I$ et $J$ deux intervalles et $(g_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $J$ qui converge uniformément sur $I$ vers une fonction $g$. Soit $f\in C^0(J,\mathbb R)$ et $(h_n)$ la suite définie par $h_n=f\circ g_n$.

Montrer que si $J$ est un segment, alors la suite $(h_n)$ converge uniformément.
Que se passe-t-il si on ne suppose plus que $J$ est un segment?

Indication

Corrigé