Préparer sa kholle : réduction d'endomorphismes
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé 

Soient $a,b,c\in\mathbb R^3$. La matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}
0&-b&c\\
a&0&-c\\
-a&b&0
\end{array}\right)$ est-elle diagonalisable?
L'exercice standard
Enoncé 

Soit $\phi:M\in\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R),\ M\mapsto {}^tM$. Déterminer les valeurs propres de $\phi$.
$\phi$ est-elle diagonalisable?
L'exercice pour les héros
Enoncé 

- Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $AB=BA$ et $B$ est nilpotente. Prouver que si $A\neq 0$, alors $\textrm{rg}(BA)<\textrm{rg}(A)$.
- Soient $A_1,\dots,A_n\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ des matrices nilpotentes qui commutent. Prouver que $A_1\cdots A_n=0$. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus que les matrices commutent?