Préparer sa kholle : réduction d'endomorphismes

On calcule le polynôme caractéristique de $A$ et on trouve facilement que $$\chi_a(X)=X\big(X^2+(ab+bc+ca)\big).$$ Posons $\delta=ab+bc+ca$. On discute alors suivant la valeur de $\delta$ :

• Si $\delta>0$, le polynôme caractéristique n'est pas scindé sur $\mathbb R$ et donc la matrice n'est pas diagonalisable.
• Si $\delta<0$, le polynôme caractéristique est scindé à racines simples : la matrice est diagonalisable.
• Si $\delta=0$, alors $0$ est racine de multiplicité 3 du polynôme caractéristique. La matrice n'est diagonalisable que s'il s'agit de la matrice nulle, c'est-à-dire si et seulement si $a=b=c=0$.

Soit $\lambda\in\mathbb R$ et $M\in\mathcal M_n(\mathbb R),\ M\neq 0$ tel que $\phi(M)=\lambda M$. Les termes diagonaux donnent $m_{i,i}=\lambda m_{i,i}$ pour $1\leq i\leq n$, les termes non-diagonaux donnent $m_{i,j}=\lambda m_{j,i}$, pour $1\leq j<i\leq n$. On en déduit que $m_{i,j}=\lambda^2 m_{i,j}$ pour tous les couples $(i,j)$. Ceci entraîne que $\lambda=\pm 1$. On distingue plusieurs cas.

• Si $\lambda=-1$, tous les coefficients sur la diagonale sont égaux à $0$ et on a $m_{i,j}=-m_{j,i}$. On en déduit que $-1$ est une valeur propre de $\phi$, les vecteurs propres appartenant à $\textrm{vect}(f_{i,j};\ 1\leq j<i\leq n)$ avec $f_{i,j}=E_{i,j}-E_{j,i}$. L'espace propre associé est donc de dimension $n(n-1)/2$.
• Si $\lambda=1$, on n'a plus de contraintes sur les éléments diagonaux, et $m_{i,j}=m_{j,i}$ pour les éléménts non-diagonaux. On en déduit que $1$ est valeur propre, les vecteurs propres étant éléments de $\textrm{vect}(E_{i,i},g_{i,j};\ 1\leq j<i\leq n)$, avec $g_{i,j}=E_{i,j}+E_{j,i}$. L'espace propre associé est donc de dimension $n+n(n-1)/2=n(n+1)/2$.

Finalement, puisque $\frac{n(n-1)}2+\frac{n(n+1)}2=n^2$, $\phi$ est bien diagonalisable.