Préparer sa kholle : espaces préhilbertiens
L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1
- Matrice symétrique à puissance nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé 

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ symétrique. On suppose qu'il existe $p\in\mathbb N$ tel que $A^p=0$. Que vaut $A$?
L'exercice standard
Enoncé 

Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$. On note $\lambda_1\leq \lambda_2\leq\dots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$, comptées avec leur multiplicité. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a
$$\lambda_1 \|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda_n \|x\|^2.$$
L'exercice pour les héros
Exercice 3 


- Endomorphismes symétriques de trace nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$. On suppose que $\textrm{Tr}(u)=0$.
- Démontrer qu'il existe $x\in E$, $x$ non-nul, tel que $\langle u(x),x\rangle=0$.
- En déduire qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ a tous ses coefficients diagonaux nuls.