$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Préparer sa kholle : fonctions convexes

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Matrice symétrique à puissance nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ symétrique. On suppose qu'il existe $p\in\mathbb N$ tel que $A^p=0$. Que vaut $A$?
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Calcul de la norme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$. On note $\lambda_1\leq \lambda_2\leq\dots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$, comptées avec leur multiplicité. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a $$\lambda_1 \|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda_n \|x\|^2.$$
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Endomorphismes symétriques de trace nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$. On suppose que $\textrm{Tr}(u)=0$.
  1. Démontrer qu'il existe $x\in E$, $x$ non-nul, tel que $\langle u(x),x\rangle=0$.
  2. En déduire qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ a tous ses coefficients diagonaux nuls.
Indication
Corrigé