Préparer sa kholle : Groupes
L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 
- Morphismes de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Déterminer tous les morphismes de $(\mathbb Z,+)$ dans lui-même. Lesquels sont injectifs? surjectifs?
L'exercice standard
Enoncé 

Soient $G$ et $H$ deux groupes.
- Montrer que si $g$ est un élément d'ordre $p$ de $G$ et $h$ un élément d'ordre $q$ de $H$, alors $(g,h)$ est d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$ dans $G\times H$.
- On suppose que $G$ et $H$ sont cycliques. Démontrer que $G\times H$ est cyclique si et seulement si les ordres de $G$ et $H$ sont premiers entre eux.
L'exercice pour les héros
Enoncé 

- Soit $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$ d'ordre des entiers premiers. Démontrer que $H=K$ ou que $H\cap K=\{e\}$.
- Démontrer que dans un groupe d'ordre 35, il existe un élément d'ordre 5 et un élément d'ordre 7.