Préparer sa kholle : Groupes

Soit $f$ un morphisme de $(\mathbb Z,+)$. Prouvons par récurrence que pour tout $n\geq 1$, on a $f(n)=nf(1)$. C'est vrai pour $n=1$, et si c'est vrai pour $n$, alors $$f(n+1)=f(n)+f(1)=nf(1)+f(1)=(n+1)f(1).$$ De plus, pour $n\leq 0$, on a $-n\geq 0$ et donc $f(-n)=-nf(1)$. On en déduit : $$0=f(0)=f(n+(-n))=f(n)+f(-n)=f(n)-nf(1).$$ Ainsi, on a toujours $f(n)=nf(1)$, quel que soit $n\in\mathbb Z$.
Caractérisons maintenant les morphismes surjectifs. Supposons donc que $f$ est surjectif. Tout élément de $\mathbb Z=f(\mathbb Z)$ est un multiple de $f(1)$. Or, les seuls éléments de $\mathbb Z$ qui divisent tous les autres entiers sont $1$ et $-1$. On en déduit que $f(1)=1$ ou $f(1)=-1$, et donc que $f(n)=n$ ou $f(n)=-n$. Réciproquement, ces deux applications sont clairement des morphismes surjectifs de $(\mathbb Z,+)$.
Déterminons enfin les morphismes injectifs. Soit $f$ un morphisme et $n\in \ker(f)$. Alors $f(n)=nf(1)=0$. Si $f(1)\neq 0$, alors $f(n)=0\iff n=0$ et $f$ est injectif, et si $f(1)=0$, alors $f$ n'est pas injectif. Donc tous les morphismes de $(\mathbb Z,+)$ dans $(\mathbb Z,+)$ sont injectifs sauf l'application identiquement nulle.