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Préparer sa kholle : fonctions convexes

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Exponentielle et logarithme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $a,b\in\mathbb R$. Montrer que $\displaystyle e^{\frac{a+b}2}\leq\frac{e^a+e^b}{2}.$
  2. Montrer que $f(x)=\ln(\ln (x))$ est concave sur $]1,+\infty[$.
  3. En déduire que $\forall a,b>1,\ \ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{\ln a.\ln b}$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Fonctions convexes croissantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe croissante. Montrer que $f$ est constante ou que $\lim_{+\infty}f=+\infty$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Fonctions logarithmiquement convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $f$ une fonction convexe croissante et soit $g$ une fonction convexe. Démontrer que $f\circ g$ est convexe.
  2. Soit $f:\mathbb R\to ]0,+\infty[$. Montrer que $\ln f$ est convexe si et seulement si, pour tout $\alpha>0$, $f^\alpha$ est convexe.
Indication
Corrigé