Préparer sa kholle : Anneaux

Exercice 1

- Équations linéaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Résoudre, dans $\mathbb Z/37\mathbb Z$, les équations ou systèmes d'équations suivants :

$\bar 7y=\bar 2$.
$\left\{\begin{array}{rcl} \bar 3x+\bar 7y&=&\bar 3\\ \bar 6x-\bar 7y&=&\bar 0 \end{array}\right.$

Indication

Corrigé

Exercice 2

- Décimaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $\mathbb D$ l'ensemble des nombres décimaux, $$\mathbb D=\left\{\frac{n}{10^k};\ n\in\mathbb Z, k\in\mathbb N\right\}.$$ Démontrer que $(\mathbb D,+,\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?

Indication

Corrigé

Exercice 3

- Carrés de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Dans cet exercice, on s'intéresse au nombre de solutions de l'équation $x^2=1$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, où $n\geq 2$.

Quel est le nombre de solutions pour $n=p^\alpha$, où $\alpha\geq 1$ et $p$ est un nombre premier impair?
Quel est le nombre de solutions pour $n=2,4$?
Quel est le nombre de solutions pour $n=2^\alpha$, $\alpha\geq 3$?
Quel est le nombre de solutions pour une valeur quelconque de $n$?

Indication

Corrigé

$1$ et $-1$ sont deux solutions distinctes. D'autre part, si $m$ est un entier naturel dont la classe dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, notée $x$, est une solution, alors $p^\alpha|(m-1)(m+1)$, et donc $m$ s'écrit $m=1+kp^u$, $m=-1+lp^v$ avec $u+v\geq\alpha$ et $k,l$ premiers avec $p$. Mais alors, on a $$2=lp^v-kp^u.$$ Si $u\neq 0$ et $v\neq 0$, alors $p|lp^v-kp^u$ et donc $p|2$, ce qui n'est pas vrai. Donc $u=0$ ou $v=0$, ce qui entraine $u\geq\alpha$ ou $v\geq\alpha$. Ainsi, dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, $x=1$ ou $x=-1$, et donc on a exactement deux solutions dans ce cas.
Une étude exhaustive des cas donne, pour $n=2$, une seule solution ($x=1$) et pour $n=4$ deux solutions ($x=1$ ou $x=3=-1$).
On procède comme pour la première question. Soit $m$ un entier compris entre $0$ et $2^\alpha-1$ tel que, si on note $x$ sa classe dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, alors $x^2=1$. $m$ s'écrit $$m=1+k2^u\textrm{ et }m=-1+l2^v$$ avec $u+v\geq\alpha$ et $k$, $l$ premiers avec $2$. Mais alors on a $$2=l2^v-k2^u,$$ et ceci entraîne que $u\leq 2$ ou $v\leq 2$, ou alors qu'un des deux entiers $k,l$ est nul.
- Si $u=0$, alors $v\geq\alpha$ et donc (puisque $m\leq 2^\alpha-1$), $v=\alpha$ et $m=-1+2^\alpha$, ce qui donne une première solution à l'équation.
- Le cas $v=0$ est symétrique et donne $m=1$, et donc une deuxième solution à l'équation.
- Si $u=1$, alors $v\geq\alpha-1$. Puisqu'on veut également que $0\leq m< 2^\alpha-1$ (cette dernière solution a déjà été considérée plus haut), il est nécessaire que $v=\alpha-1$ et on trouve $m=-1+2^{\alpha-1}$. Son carré, dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, vaut bien 1, et cet entier est différent des précédents car $\alpha\geq 3$.
- Le cas $v=1$ est symétrique et donne $m=1+2^{\alpha-1}$.
- Si l'un des deux entiers $k,l$ est nul, on retrouve une des solutions précédentes (à savoir 1 ou $-1+2^\alpha$).
Finalement, on a prouvé que dans ce cas on a 4 solutions à l'équation.
Notons $n=p_1^{ \alpha_1}\dots p_r^{\alpha_r}$, avec $p_1=2$. Les anneaux $\mathbb Z/n\mathbb Z$ et $\left(\mathbb Z/p_1^{\alpha_1}\mathbb Z\right)\times\dots\times\left(\mathbb Z/p_r^{\alpha_r}\mathbb Z\right)$ sont isomorphes d'après le théorème chinois, l'isomorphisme étant donné par $x\mapsto (x_1,\dots,x_r)$, où $x_i$ désigne la classe de $x$ modulo $\mathbb Z/p_i^{\alpha_i}\mathbb Z$. Il est clair que $x^2=1$ si et seulement si $x_i^2=1$ pour tout $i=1,\dots,r$ (car l'application prendre le carré ``commute'' avec l'isomorphisme précédent). Le nombre de solutions de l'équation $x^2=1$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est donc le produit du nombre de solutions de l'équation $x_i^2=1$ dans chaque $\mathbb Z/p_i^{\alpha_i}\mathbb Z$. Ce nombre de solutions vaut donc :
- $2^{r-1}$ si $\alpha_1=0,1$;
- $2^r$ si $\alpha_1=2$;
- $2^{r+1}$ si $\alpha_1\geq3 $.