Préparer sa kholle : Anneaux
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé 

Résoudre, dans $\mathbb Z/37\mathbb Z$, les équations ou systèmes d'équations suivants :
- $\bar 7y=\bar 2$.
- $\left\{\begin{array}{rcl} \bar 3x+\bar 7y&=&\bar 3\\ \bar 6x-\bar 7y&=&\bar 0 \end{array}\right.$
L'exercice standard
Enoncé 

Soit $\mathbb D$ l'ensemble des nombres décimaux,
$$\mathbb D=\left\{\frac{n}{10^k};\ n\in\mathbb Z, k\in\mathbb N\right\}.$$
Démontrer que $(\mathbb D,+,\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
L'exercice pour les héros
Enoncé 

Dans cet exercice, on s'intéresse au nombre de solutions
de l'équation $x^2=1$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, où $n\geq 2$.
- Quel est le nombre de solutions pour $n=p^\alpha$, où $\alpha\geq 1$ et $p$ est un nombre premier impair?
- Quel est le nombre de solutions pour $n=2,4$?
- Quel est le nombre de solutions pour $n=2^\alpha$, $\alpha\geq 3$?
- Quel est le nombre de solutions pour une valeur quelconque de $n$?