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Un point sur le vocabulaire des probabilités

Partons du début...

Pour que l'on puisse parler de probabilités, il faut qu'il y ait une expérience aléatoire, c'est-à-dire une expérience dont les résultats possibles sont continus, mais pouvant donner des résultats différents si on la répète. Par exemple, lancer un dé est une expérience aléatoire.

À chaque expérience aléatoire on associe l'ensemble des résultats possibles, qu'on appelle l'univers. Les éléments de l'univers, autrement dit, les résultats possibles, sont appelés les issues de l'expérience aléatoire. Par exemple, 1 est une issue de l'expérience aléatoire décrite ci-dessus.

On s'intéresse alors souvent aux événements attachés à cette expérience : par définition, on appelle événement (lié à cette expérience aléatoire) toute partie de $\Omega$. Par exemple, $A=\{2,4,6\}$ est un événement de l'expérience aléatoire considérée. On peut aussi écrire ces événements en les décrivant. Ici, on peut aussi écrire $A=$"Obtenir un nombre pair". On ne confondra pas les issues, qui sont les éléments de l'univers $\Omega$, et les événements, qui sont les parties de $\Omega$.

Vient ensuite la notion de probabilité. Supposons que l'univers est fini. A chaque issue $\omega\in \Omega$, on associe un réel $p_\omega$ qui est la probabilité que l'issue se réalise. Dans notre contexte, la valeur de $p_\omega$ dépendra du dé, notamment de savoir s'il est truqué ou non. La probabilité d'un événement $A$ est alors définie comme la somme des probabilités des issues qu'il contient. Bien sûr, les valeurs $p_\omega$ ne sont pas quelconques : on doit avoir $p_\omega\geq 0$ et $\sum_{\omega\in \Omega}p_\omega=1$.

Et les variables aléatoires alors?

Une variable aléatoire est tout simplement une fonction $X$ définie sur $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb R$. Le terme de variable aléatoire est trompeur, car la définition n'a rien de probabiliste. Si on connait l'issue de l'expérience, alors on connait parfaitement la valeur de la variable aléatoire. Par exemple, considérons l'expérience consistant à lancer deux dés, et $S$ la variable aléatoire égale à la somme des deux dés. Alors, si on connait l'issue (par exemple, on a obtenu un 2 et un 5), alors on connait parfaitement la valeur de $S$, qui vaut 7.

Ce qui est aléatoire, en réalité, c'est la probabilité que $S$ prend la valeur $7$. Et on parle alors de la loi de $S$... Si $S$ prend les valeurs $\{s_1,\dots,s_p\}$, alors la loi de $S$ est la probabilité $P_S$ définie sur $\{s_1,\dots,s_p\}$ par $P_S(s_p)=P(S=s_p)$.