Méthodes : Variables aléatoires à densité

Calcul de probabilités pour une variable à densité

Si $X$ est une variable aléatoire à densité ayant pour densité $f$, on a $$P(X\in [a,b])=\int_a^b f(t)dt,\ P(X\geq a)=\int_{a}^{+\infty}f(t)dt,\ P(X\leq a)=\int_{-\infty}^a f(t)dt.$$ Remarquons que l'on a $P(X=a)=0$ et donc que $P(X>a)=P(X\geq a)$ pour une variable aléatoire à densité.

Calcul de probabilités conditionnelles et loi exponentielle

Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, et si on cherche à faire des calculs de probabilités conditionnelles faisant intervenir $X$, on utilise souvent la propriété d'absence de mémoire de $X$ : $$P_{(X>s)}(X>s+t)=P(X>t)$$ (voir cet exercice).

Calcul de probabilités faisant intervenir une loi normale

Si $X$ suit une loi normale $\mathcal N(m,\sigma^2)$ et que l'on cherche à calculer la probabilité que $X$ appartienne à un intervalle, alors

on introduit la variable $Y=(X-m)/\sigma$ qui suit une loi normale centrée réduite $\mathcal N(0,1)$;
on introduit sur $Y$ la condition imposée sur $X$; par exemple, la contrainte $X\geq a$ est équivalente à $Y\geq (a-m)/\sigma$;
on utilise une table de la loi normale ou un tableur pour déterminer la valeur correspondante

(voir cet exercice).

Déterminer la fonction de répartition du minimum de deux variables aléatoires indépendantes

Si $X_1$ et $X_2$ sont des variables aléatoires indépendantes et si $Y=\min(X_1,X_2)$, on peut déterminer la fonction de répartition $F_Y$ de $Y$ de la façon suivante :

on remarque que, pour tout $t\in\mathbb R$, on a $$(Y>t)\iff (X_1>t)\cap (X_2>t).$$
par indépendance des variables aléatoires $X_1$ et $X_2$, ceci implique que $$P(Y>t)=P(X_1>t) P(X_2>t).$$
on se ramène alors aux fonctions de répartition par $P(Y\leq t)=1-P(Y>t)$

(voir cet exercice).

Déterminer si une fonction est une densité

Pour déterminer si une fonction $f$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$, on vérifie qu'elle possède les propriétés définissant une densité, à savoir

$f$ est continue par morceaux sur $\mathbb R$;
$f$ est positive ou nulle sur $\mathbb R$;
$f$ est intégrable sur $\mathbb R$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1$.

En particulier, cette dernière propriété peut amener à ajuster une ou des constantes dans la définition de $f$ (voir cet exercice).

Déterminer la densité d'une fonction de variables aléatoire

Si $X$ est une variable aléatoire possédant une densité $f$, si $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ est continue, et si $Y=\varphi(X)$, on détermine la densité de $Y$ (lorsque $Y$ est à densité...) de la façon suivante :

on détermine la fonction de répartition de $Y$ : pour cela, on traduit la condition $Y\leq a$ par une condition sur $X$ en utilisant la fonction $\varphi$ (par exemple, parce que $\varphi$ est croissante, en déterminant toutes les solutions d'une inégalité,...).
à l'aide de $f$, on calcule la probabilité que l'événement correspondant à $Y\leq a$ et portant sur $X$ ait lieu;
on dérive (là où c'est possible) la fonction de répartition de $Y$ pour trouver la densité

(voir cet exercice).