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Méthodes : intégrales impropres

Étude de la convergence d'une intégrale généralisée

Pour étudier une intégrale généralisée $\int_I f$,

  • Étape 1 : on étudie la continuité (par morceaux) de $f$ sur $I$. Il faut vérifier notamment qu'il n'y a pas de problèmes à l'intérieur de $]a,b[$. D'autre part, il est possible que $f$ se prolonge par continuité en $a$ (ou en $b$). Dans ce cas, on n'a pas vraiment affaire à une intégrale impropre en $a$, mais à l'intégrale d'une fonction continue. Si par exemple on vous demande de justifier l'existence de $\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t}dt$, vous devez dire que $f:t\mapsto \frac{\ln(1+t)}t$ est continue sur $]0,1]$ et se prolonge par continuité en $0$ en posant $f(0)=1$. Ainsi, $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}tdt$ existe comme intégrale d'une fonction continue sur un segment.
  • Étape 2 : étude de la convergence. Il y a encore plusieurs méthodes possibles :
    • on connait une primitive de la fonction $f$ : dans ce cas, on conclut en utilisant la définition. C'est assez rare que ce soit possible, mais cela fonctionne pour prouver la convergence de $\int_0^1 \ln(t)dt$ ou de $\int_0^{+\infty}e^{-t}dt$. Par exemple, pour prouver la convergence de $\int_0^1 \ln(t)dt$, on peut dire que $\ln $ est continue sur $]0,1]$ et qu'une primitive est $t\mapsto t\ln t-t$. Ainsi, pour tout $\delta\in ]0,1]$, on a $$\int_\delta^1 \ln(t)dt=\left[t\ln t-t\right]_\delta^1=-\delta\ln\delta+\delta-1.$$ De plus, par comparaison de la fonction logarithme et des fonctions puissance en $0$, on a $$\lim_{\delta\to 0}\delta\ln\delta=0.$$ Ainsi, $\int_\delta^1\ln(t)dt$ admet une limite lorsque $\delta\to 0$, et donc $\int_0^1 \ln(t)dt$ converge. De plus, on a prouvé que $\int_0^1 \ln(t)dt=-1$.
    • par majoration, en se ramenant à la convergence d'une intégrale connue (souvent, une intégrale de Riemann), et en utilisant les théorèmes de croissance comparée. Par exemple, on prouve que pour tout $n\in\mathbb N$, $\int_0^{+\infty}t^n e^{-t}dt$ converge de la façon suivante : la fonction $t\mapsto t^n e^{-t}$ est continue sur $[0,+\infty[$. De plus, par croissance comparée de l'exponentielle et des puissances, $\lim_{t\to+\infty}t^{n+2}e^{-t}=0$. Autrement dit, $t^ne^{-t}=_{+\infty}o\left(\frac1{t^2}\right)$. Puisque $\frac 1{t^2}\geq 0$ et que $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}$ converge, on en déduit que $\int_0^{+\infty} t^ne^{-t}dt$ converge.
    • par minoration, en utilisant le même type de raisonnement. Par exemple, on prouve la divergence de $\int_2^{+\infty}\frac{dt}{\ln t}$ de la façon suivante : la fonction $t\mapsto 1/\ln (t)$ est continue sur $[2,+\infty[$. De plus, par comparaison de la fonction racine carrée et du logarithme, on sait que $\lim_{t\to+\infty}\frac{\sqrt t}{\ln t}=+\infty$. Ainsi, pour $t$ assez grand, on a $\frac1{\ln t}\geq\frac1{\sqrt t}>0$. Puisque $\int_2^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt t}$ diverge, on en déduit que $\int_2^{+\infty}\frac{dt}{\ln t}$ diverge.
    • par équivalent : si on démontre que $f(x)\sim_{+\infty}g(x)$ et si $f$ et/ou $g$ sont de signe constant au voisinage de l'infini, alors $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ et $\int_a^{+\infty}g(x)dx$ sont de même nature. Pour trouver un équivalent simple, on utilise les techniques usuelles, notamment les développements limités.
    • par intégration par parties. Pour l'étude des certaines intégrales, du type $\int_1^{+\infty}\frac{\sin }{t}dt$, qui ne sont pas absolument convergentes, une intégration par parties permet de se ramener à une intégrale absolument convergente.