Capes : exercices de logique, applications et relations

Trouver des conditions nécessaires (pas forcément suffisantes) à chacune des propositions suivantes :

Avoir son bac.
Le point $A$ appartient au segment $[BC]$.
Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.

Exercice 2

- Condition nécessaire, suffisante, pour avoir un rectangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit la proposition $P$ : "Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle" et les propositions

$Q1$ : "Les diagonales de $ABCD$ ont même longueur"
$Q2$ : "$ABCD$ est un carré"
$Q3$ : "$ABCD$ est un parallélogramme ayant un angle droit"
$Q4$ : "Les diagonales de $ABCD$ sont médiatrices l'une de l'autre"
$Q5$ : "Les diagonales de $ABCD$ ont même milieu".

Dire si chacune des propositions $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$, $Q_5$ est pour $P$ une condition nécessaire non suffisante, une condition suffisante non nécessaire, une condition nécessaire et suffisante, ou ni l'un ni l'autre.

Exercice 3

- Nier des assertions avec quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Nier les assertions suivantes :

$\forall x\in \mathbb R,\ f(x)\neq 0$.
$\forall M>0,\ \exists A>0,\ \forall x\geq A,\ f(x)>M$.
$\forall x\in \mathbb R,\ f(x)>0\implies x\leq 0$.
$\forall \veps>0,\ \exists \eta>0, \forall (x,y)\in I^2,\ \big(|x-y|\leq \eta\implies |f(x)-f(y)|\leq\veps\big).$

Exercice 4

- Une inégalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $|x-1|\leq x^2-x+1$.

Exercice 5

- Somme de tous les termes précédents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\geq 0$, $u_{n+1}=u_0+u_1+\dots+u_n$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n=2^{n-1}$.

Exercice 6

- Exemples d'image directe et d'image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$, $x\mapsto x^2$, et soit $A=[-1,4]$. Déterminer
1. l'image directe de $A$ par $f$;
2. l'image réciproque de $A$ par $f$.
On considère la fonction $\sin:\mathbb R\to \mathbb R$. Quelle est l'image directe, par $\sin$, de $\mathbb R$? De $[0,2\pi]$? de $[0,\pi/2]$? Quelle est l'image réciproque, par $\sin$, de $[0,1]$? de $[3,4]$? de $[1,2]$?

Exercice 7

- Du texte aux quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes :

$f$ est constante;
$f$ n'est pas constante;
$f$ s'annule;
$f$ est périodique.

Exercice 8

- Analyser une récurrence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$. On souhaite démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n\geq n$. Voici les réponses de trois élèves à cette question. Analysez ces productions d'élèves, en mettant en évidence les compétences acquises et les difficultés restantes.

Élève 1 : Montrons par récurrence que, $\forall n\in\mathbb N, u_n\geq n$.

Initialisation : $u_0\geq 0$ donc $\mathcal P_0$ est vraie.
Hérédité : on suppose $\mathcal P_k$ vraie, c'est-à-dire $u_k\geq k$. Alors $$u_{k+1}\geq k\iff 3u_k-2k+3\geq k\iff 3u_k+3\geq 3k\iff u_k\geq k.$$
Bilan : $\mathcal P_0$ est vraie et, pour tout $k$, $\mathcal P_k\implies \mathcal P_{k+1}$. Donc $\mathcal P_n$ est vraie pour tout $n$.

Élève 2 :

Initialisation : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que $\mathcal P_n$, la propriété $u_n\geq n$ est vraie pour tout $n$. On étudie $\mathcal P_{n+1}$ : $$u_{n+1}=3u_n-2n+3=3(u_n+1)-2n.$$ Or $u_n\geq n$ donc $u_{n}+1>n$ donc $3(u_n+1)>3n$ et $3(u_n+1)-2n>n\iff u_{n+1}>n.$ $u_{n+1}$ est strictement supérieur à $n$ donc $u_{n+1}\geq n+1$. La propriété est vraie au rang $n+1$.
La propriété est donc héréditaire. De plus, elle est initialisée au rang $0$ donc $\mathcal P_n$ est vraie pour tout $n$.

Élève 3 : Pour $n\in\mathbb N$, on note $\mathcal P(n)$ la propriété $\mathcal P(n)="\forall n\in\mathbb N,\ u_n\geq n"$. Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb N$, $\mathcal P(n)$ est vraie.

Initialisation : $u_0=0\geq 0$, donc la propriété est vraie au rang 0.
On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie. Alors $$u_{n+1}=3u_n-2n+3\geq 3n-2n+1=n+1.$$ Donc $\mathcal P(n+1)$ est vraie.

Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier $n\in\mathbb N$.

Exercice 9

- Équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et telles que, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$, $$f(x+y)=f(x)+f(y).$$

Exercice 10

- Image directe de l'image réciproque...et vice-versa! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f:E\to F$. Démontrer que

$\forall A \in {\mathcal{P}}(E),A \subset f^{ - 1} (f(A))$;
$\forall B \in {\mathcal{P}}(F),f(f^{ - 1} (B)) \subset B$.
Question subsidiaire (plus difficile) : a-t-on égalité en général?

Exercice 11

- Avec des nombres complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Démontrer que l'application $$ \begin{array}{rcl} f:\mathbb C\backslash \{-3\}&\to&\mathbb C\backslash \{i\}\\ z&\mapsto&\frac{iz-i}{z+3} \end{array}$$ est une bijection. Déterminer sa bijection réciproque.