Capes : intégration

Dans votre devoir de révision sur l'intégration de Terminale S, vous avez demandé à vos élèves d'énoncer le théorème fondamental du calcul intégral. Voici quelques-une de leurs réponses, analysez-les.

1. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$. Alors $F:x\mapsto \int_a^b f(x)dx$ est dérivable sur $]a,b[$ et on a $F'(x)=f(x)$.
2. Si $F$ est une fonction définie et de classe $C^1$ sur un segment $[a,b]$, alors, en notant sa dérivée $F'$ définie et continue sur $[a,b]$, $$\int_a^b F'(x)dx=F(b)-F(a).$$
3. Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue, soit $a\in I$. Pour tout $x\in I$, il existe une fonction $F:I\to\mathbb R$ telle que $$F(x)=\int_a^x f(t)dt.$$ On dit que $F$ est une primitive de $f$.
4. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I=[a,b]$. Soit $x\in [a,b]$, on note la primitive $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ de $f$. Alors $F'(x)=f(x)$.
5. Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et soit $a\in I$. La fonction $F$ qui s'annule en $a$ est définie par pour tout $x\in I$, $F(x)=\int_a^x f(x)dx$. De plus, $F'(x)=f(x)$.
6. Soit $(a,b)\in\mathbb R^2$ tel que $a<b$ et soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Alors il existe une fonction $F$ dérivable sur $[a,b]$ et de dérivée $f$. De plus on a $$\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a).$$
7. Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors elle admet une primitive $F$ dérivable sur $[a,b]$ telle que $F'=f$.

L'objectif de l'exercice est de donner un majorant de l'approximation faite sur l'intégrale d'une fonction de classe $C^1$ sur un segment par la méthode des rectangles.

1. Question préliminaire : soit $g:[\alpha,\beta]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. Démontrer que $$\int_{\alpha}^\beta |g(t)-g(\alpha)|dt\leq \sup_{x\in [\alpha,\beta]}|g'(x)|\frac{(\beta-\alpha)^2}2.$$
2. Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^1$. On note, pour $n\geq 1$, $$R_n(f)=\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)$$ $$M_1=\sup_{t\in [a,b]}|f'(t)|.$$ Vérifier que $$\int_a^b f(t)dt-R_n(f)=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{a+\frac{k(b-a)}n}^{a+\frac{(k+1)(b-a)}n}\left(f(t)-f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)\right)dt.$$
3. En déduire que $$\left|\int_a^b f(t)dt-R_n(f)\right|\leq \frac{M_1(b-a)^2}{2n}.$$
4. Application algorithmique. On considère $f(x)=e^{-x^2}$ sur $[a,b]=[0,1]$. Donner un majorant de $M_1$. En déduire une fonction $integral(ecart)$ qui donne une valeur approchée de $\int_0^1 f(t)dt$ avec un écart inférieur à $ecart$.

Calculer la limite des suites suivantes :

1. $\dis u_n=\frac 1n\left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)+\dots+\sin\left(\frac{n\pi}{n}\right)\right).$
2. $\dis u_n=n\left(\frac{1}{(n+1)^2}+\dots+\frac{1}{(n+n)^2}\right).$
3. $\dis u_n=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n-1}}{n\sqrt{n}}.$
4. $\dis u_n=\sqrt[n]{\left(1+\left(\frac{1}{n}\right)^2\right)\left(1+\left(\frac{2}{n}\right)^2\right)\dots\left(1+\left(\frac{n}{n}\right)^2\right)}$.

Pour $n\geq 0$, on définit $$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx.$$

1. Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
2. Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
3. En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.

Déterminer une primitive des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^2+4}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto\frac{1}{x^2+4x+5}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-x^2}&&\displaystyle \mathbf{4.}\quad x\mapsto e^x(2x^3+3x^2-x+1)\\ \displaystyle \mathbf{5.}\quad x\mapsto\sin^3(x)&&\displaystyle \mathbf{6.}\quad x\mapsto \arctan(x) \end{array}$$

Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2.\ u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}. \end{array} $$

Le théorème suivant est très classique :

1. Démontrer ce théorème en procédant par contraposée et en utilisant des "epsilon" pour écrire la définition de la continuité.
2. Démontrer ce théorème en utilisant la fonction $F(x)=\int_a^x f(t)dt.$
3. Application 1 : Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac 1n>\int_n^{n+1}\frac{dt} t.$$
4. Application 2 : On considère $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles. Démontrer que $$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)dt$$ définit un produit scalaire sur $E$.

Soit $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx$, pour $n\in\mtn$.

1. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
2. Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
3. Soit $\veps\in]0,\pi/2[$.
   1. Montrer que $I_n\leq \frac{\pi}{2}\sin^n\left(\frac\pi 2-\veps\right)+\veps$.
   2. En déduire (proprement!) que $(I_n)$ converge vers 0.