Capes : exercices sur les fonctions usuelles
Pour réviser
Enoncé
Étudier la fonction $f:x\mapsto x^{-\ln x}$.
Enoncé
Quel est le nombre de chiffres en base 10 du nombre $2^{43112609}$?
Enoncé
Dans l'exercice, il est demandé de démontrer que $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$ (sachant qu'on peut utiliser les propriétés de la fonction exponentielle). Voici les réponses de deux étudiants. Qu'en pensez-vous?
Étudiant 1 : Il faut montrer que, pour tout $M\in\mathbb R$, il existe $x\in\mathbb R_+$ tel que $\ln(x)\geq M$, c'est-à-dire $x\geq e^M$. Il en existe, et donc $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$.
Étudiant 2 : On a $\ln(e^x)=x$. Ainsi, $\lim_{x\to+\infty}\ln(e^x)=\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$. En posant $X=e^x$, on a $\lim_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty$.
Étudiant 1 : Il faut montrer que, pour tout $M\in\mathbb R$, il existe $x\in\mathbb R_+$ tel que $\ln(x)\geq M$, c'est-à-dire $x\geq e^M$. Il en existe, et donc $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$.
Étudiant 2 : On a $\ln(e^x)=x$. Ainsi, $\lim_{x\to+\infty}\ln(e^x)=\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$. En posant $X=e^x$, on a $\lim_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty$.
Enoncé
Calculer
$$\arccos \left(\cos\frac{2\pi}3\right),\quad \arccos\left(\cos\frac{-2\pi}{3}\right),\quad\arccos\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right),\quad \arccos\left(\sin\frac{17\pi}5\right).$$
Enoncé
Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, $\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac\pi2$.
Pour progresser
Exercice 6 - Irrationalité du logarithme décimal de $2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que $\log_{10}2$ est irrationnel.
Exercice 7 - Le logarithme n'est pas une fraction rationnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soit $f$ un polynôme de degré $n$, $f(x)=a_n x^n+\dots+a_1x+a_0$, avec $a_n\neq 0$. Démontrer que $x^{-n} f(x)$ admet une limite non-nulle en $+\infty$.
- On suppose qu'il existe deux polynômes $P$ et $Q$ tels que, pour tout $x>0$, $$\ln x=\frac{P(x)}{Q(x)}.$$ On note $p=\deg P$ et $q=\deg Q$. Démontrer que $x^{q-p}\ln (x)$ admet une limite non-nulle en $+\infty$.
- En déduire que l'hypothèse fait à la question précédente est fausse.
Enoncé
On considère la courbe de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
- Pour $x\in\mathbb R$, on pose $g(x)=x+e^{2x}$. Démontrer qu'il existe un réel $c$ tel que $g(x)< 0$ si $x< c$ et $g(x)> 0$ si $x> c$.
- En déduire qu'il y a un unique point sur la courbe de la fonction exponentielle qui minimise la distance à l'origine. On le note $M_0$.
- Démontrer que la tangente à la courbe en $M_0$ est perpendiculaire à la droite $(OM_0)$.
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ \arccos(x)=\frac\pi 6&\quad&\mathbf{2.\ } \arctan(x/2)=\pi\\
\mathbf{3.}\ \arcsin(x)=\arccos(x).
\end{array}$$
Enoncé
Soit $p\in\mathbb N$.
- Vérifier que $\arctan(p+1)-\arctan p=\arctan\left(\frac{1}{p^2+p+1}\right)$.
- Déterminer la limite de $S_n=\sum_{p=0}^n\arctan\left(\frac1{p^2+p+1}\right)$.