Capes : exercices sur les nombres complexes

On considère les nombres complexes suivants : $$z_1=1+i\sqrt 3,\ z_2=1+i\textrm{ et }z_3=\frac{z_1}{z_2}.$$

Écrire $z_3$ sous forme algébrique.
Écrire $z_3$ sous forme trigonométrique.
En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac\pi{12}$ et $\sin\frac\pi{12}$.

Exercice 2

- Forme exponentielle et formule d'Euler [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soient $a,b\in]0,\pi[$. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $$\mathbf 1.\ z_1=1+e^{ia}\quad \mathbf 2.\ z_2=1-e^{ia}\quad \mathbf 3.\ z_3=e^{ia}+e^{ib}\quad \mathbf 4. z_4=\frac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}.$$

Exercice 3

- Équations du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Résoudre les équations du second degré suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z^2-2iz-1+2i=0&&\mathbf{2.}\ iz^2+(4i-3)z+i-5=0\\ \mathbf{3.}\ z^2-(7+i)z+12+3i=0. \end{array}$$

Exercice 4

- Variations sur les équations classiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ iz^8+iz^4+1+i=0&&\mathbf{2.}\ z^n=\bar z\ (n\geq 2)\\ \mathbf{3.}\ z^4-z^3+z^2-z+1=0&& \mathbf{4.}\ 1+2z+\dots+2z^{n-1}+z^n=0 \end{array}$$

On commence par poser $u=z^4$, et l'équation devient $iu^2+iu+1+i=0$. Son discriminant est $$\Delta=-1-4i(1+i)=3-4i.$$ On cherche une racine carrée $\delta$ de $\Delta$ en posant $\delta=a+ib$, en utilisant $\delta^2=\Delta$ et $|\delta|^2=|\Delta|=5$, et on trouve qu'une des deux racines est $\delta=2-i$. Les racines de l'équation $iu^2+iu+1=0$ sont donc les complexes $$u_1=\frac{-i-2+i}{2i}=i\textrm{ et }u_2=\frac{-i+2-i}{2i}=-1-i.$$ Reste à résoudre les équations $z^4=u_1$ et $z^4=u_2$. Pour cela, on pose $z=re^{i\theta}$ et on remarque que $u_1=e^{i\pi/2}$ et que $u_2=\sqrt 2 e^{i5\pi/4}$. On en déduit $$z^4=e^{i\pi/2}\iff z=e^{i\pi/8+k\pi/2},\ k=0,\dots,3;$$ $$z^4=\sqrt 2 e^{i5\pi/4}\iff z=2^{1/8}e^{i5\pi/16+k\pi/2},\ k=0,\dots,3.$$
Remarquons d'abord que $z=0$ convient. Supposons désormais $z\ne 0$. Puisque $|z|=|\overline z|$, on a $|z|^{n-1}=1$ et donc $|z|=1$. On peut donc poser $z=e^{i\theta}$ et l'équation devient $$e^{in\theta}=e^{-i\theta}\iff e^{i(n+1)\theta}=1\iff \theta=2k\pi/(n+1),\ k\in\{0,\dots,n\}.$$
Remarquons que $z=-1$ n'est pas racine de l'équation. On reconnait alors le début de la somme géométrique de raison $-z$. L'équation est donc équivalente à $$\frac{1-(-z)^5}{1+z}=0\iff z^5=-1=e^{i\pi}.$$ Les solutions de cette dernière équation sont les complexes de la forme $e^{i\frac{(1+2k)\pi}{5}}$, $k=0,\dots,4$ mais il faut faire attention que pour $k=2$, on retrouve $-1$, valeur interdite! Les solutions de l'équation initiale sont donc les quatre nombres complexes $e^{i\pi/5}$, $e^{3i\pi/5}$, $e^{7i\pi/5}$, $e^{9i\pi/5}$.
On commence par écrire : $$1+2z+\dots+2z^{n-1}+z^n=(1+z+\dots+z^{n-1})+(z+\dots+z^n).$$ On reconnait deux sommes géométriques de raison $z$. Comme $z=1$ n'est pas solution de l'équation, celle-ci est équivalente à $$\frac{1-z^n}{1-z}+\frac{z-z^{n+1}}{1-z}=0\iff 1-z^n+z-z^{n+1}=0\iff (1+z)(1-z^n)=0.$$ Les solutions sont donc $z=-1$ et les racines $n$-ièmes de l'unité, excepté $1$. Autrement dit, $-1$ et $e^{2ik\pi/n}$, $k=1,\dots,n-1$.

Exercice 5

- Lieux géométriques et module [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer le lieu géométrique des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie $$ \begin{array}{ll} \mathbf{1.}\ |z-i|=|z+i|& \mathbf{2.}\ \displaystyle \frac{|z-3+i|}{|z+5-2i|}=1\\ \mathbf{3.}\ |(1+i)z-2i|=2& \mathbf{4.}\ \displaystyle \ |3+iz|=|3-iz| \end{array}$$

Exercice 6

- Entiers somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On dit qu'un entier naturel $N$ est somme de deux carrés s'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ de sorte que $N=a^2+b^2$.

Écrire un algorithme permettant de déterminer si un entier naturel $N$ est somme de deux carrés.
On souhaite prouver que, si $N_1$ et $N_2$ sont sommes de deux carrés, alors leur produit $N_1N_2$ est aussi somme de deux carrés. Pour cela, on écrit $N_1=a^2+b^2$ et $N_2=c^2+d^2$, et on introduit $z_1=a+ib$, $z_2=c+id$. Comment écrire $N_1$ et $N_2$ en fonction de $z_1$ et $z_2$?
En déduire que $N_1N_2$ est somme de deux carrés.
Démontrer que si $N$ est somme de deux carrés, alors pour tout entier $p\geq 1$, $N^p$ est somme de deux carrés.

Exercice 7

- Inégalité triangulaire itérée, et cas d'égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Justifier que, pour tout nombre complexe $z$, on a $\Re e(z)\leq |z|$. Dans quel cas a-t-on égalité?
Démontrer que pour tout couple $(z_1,z_2)$ de nombres complexes, on a $|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$.
On suppose de plus que $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes non nuls. Justifier que l'inégalité précédente est une égalité si et seulement s'il existe un réel positif $\lambda$ tel que $z_2=\lambda z_1$.
Démontrer que pour tout $n$-uplet $(z_1,\dots,z_n)$ de nombres complexes, on a $$|z_1+\cdots+z_n|\leq |z_1|+\cdots+|z_n|.$$
Démontrer que si $z_1,\dots,z_n$ sont tous non nuls, alors l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si il existe des réels positifs $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ tels que, pour tout $k=1,\dots,n$, on a $z_k=\lambda_k z_1$.

Écrivons le nombre complexe $z$ sous la forme $z=x+iy$. Alors on a $$\textrm{Re}(z)\leq |\textrm{Re}(z)|=|x|= \sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2 +y^2},$$ la dernière inégalité étant une conséquence de la croissance de la fonction racine carrée. Pour déterminer les cas d'égalité, la méthode est simple : on repère toutes les inégalités utilisées, et on aura égalité si et seulement si ces inégalités sont des égalités. Ici, les deux inégalités utilisées sont $\textrm{Re}(z)\leq |\textrm{Re}(z)|$ et $\sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}$. On a donc égalité si et seulement si $|x|=x$ et $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2}$, c'est-à-dire si et seulement si $x\geq 0$ et $y=0$. On a donc égalité si et seulement si $z$ est un réel positif ou nul.
C'est une question de cours! Quand on travaille avec des modules, on a tout intérêt à se souvenir que ce qui est facile à calculer, c'est le carré du module. Tout étant positif, il suffit ici de démontrer que $|z_1+z_2|^2\leq (|z_1|+|z_2|)^2$. Mais on a \begin{eqnarray*} |z_1+z_2|^2&=&(z_1+z_2)\times\overline{(z_1+z_2)}\\ &=&|z_1|^2+|z_2|^2+z_1\bar{z_2}+z_2\bar{z_1}\\ &=&|z_1|^2+|z_2|^2+2\textrm{Re}(\bar{z_1}z_2),\\ (|z_1|+|z_2|)^2&=&|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1z_2|. \end{eqnarray*} On conclut en appliquant le résultat de la première question à $z=\bar{z_1}z_2$, puisque $|z_1z_2|=|\bar{z_1}z_2|$.
C'est une question nettement plus difficile. On étudie la preuve de la question précédente pour savoir où on a utilisé des inégalités plutôt que des égalités. La seule inégalité utilisée est $\textrm{Re}(\bar{z_1}z_2)\leq |\overline{z_1}z_2|$. D'après le résultat de la question A.I.1., on a égalité si et seulement si $\bar z_1z_2$ est un réel positif ou nul. Puisque $z_1,z_2$ ne sont pas nuls, on a égalité si et seulement s'il existe $\mu>0$ tel que $\overline{z_1}z_2=\mu$. Il faut maintenant passer au résultat demandé. Pour cela, on peut aussi écrire $z_1=re^{i\theta}$ de sorte que $\bar{z_1}=re^{-i\theta}$ ce qui entraine encore que $$\frac{1}{\bar z_1}=\frac 1r e^{i\theta}=\frac1{r^2}z_1.$$ Ainsi, on a démontré qu'on avait égalité si et seulement s'il existe $\mu>0$ tel que $$z_2=\frac{\mu}{r^2}z_1.$$ Posant $\lambda=\mu/r^2$, on obtient le résultat. Il s'interprète en disant que $z_1$ et $z_2$ ont le même argument modulo $2\pi$.
On va procéder par récurrence. Pour $n\geq 1$, considérons $\mathcal P(n)$ la propriété suivante : $$"\forall z_1,\dots,z_n\in\mathbb C,\ |z_1+\dots+z_n|\leq |z_1|+\dots+|z_n|."$$ La propriété $\mathcal P(1)$ est trivialement vraie et la propriété $\mathcal P(2)$ a été vérifiée lors d'une question précédente. Soit $n\geq 2$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie et prouvons $\mathcal P(n+1)$. Soit $z_1,\dots,z_{n+1}$ des nombres complexes et posons $Z_1=z_1+\dots+z_n$, $Z_2=z_{n+1}$. Puisque $\mathcal P(2)$ est vraie, on sait que $$\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|=|Z_1+Z_2|\leq |Z_1|+|Z_2|.$$ On utilise maintenant $\mathcal P(n)$ pour trouver que $$|Z_1|\leq \sum_{k=1}^n |z_k|.$$ On a donc bien prouvé $\mathcal P(n+1)$ et par le principe de récurrence, le résultat est démontré pour tout entier $n$.
Là encore, une récurrence s'impose et là encore, elle est un peu délicate. L'hypothèse de récurrence $\mathcal P(n)$ est cette fois : $$"\forall z_1,\dots,z_n\in\mathbb C^*,\ \left|\sum_{k+1}^n z_k\right|=\sum_{k=1}^n |z_k|\iff \forall k\in\{1,\dots,n\},\ \exists \lambda_k\in\mathbb R_+,\ z_k=\lambda_k z_1."$$ L'initialisation $\mathcal P(1)$, $\mathcal P(2)$ ne pose pas de problèmes. Soit $n\geq 2$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie et prouvons $\mathcal P(n+1)$. Comme précédemment, considérons $z_1,\dots,z_{n+1}$ des nombres complexes non-nuls et posons $Z_1=z_1+\dots+z_n$, $Z_2=z_{n+1}$. De la chaine d'inégalités $$\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|=|Z_1+Z_2|\leq |Z_1|+|Z_2|\leq \sum_{k=1}^n |z_k|+|z_{n+1}|=\sum_{k=1}^{n+1}|z_k|,$$ on déduit que l'on a égalité si et seulement si $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$ et $\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|=\sum_{k=1}^n |z_k|$. Ici, il faut faire attention! On ne peut pas directement appliquer $\mathcal P(2)$ à $|Z_1+Z_2|$ car pour le moment, rien ne nous dit que $Z_1\neq 0$. On commence donc par appliquer $\mathcal P(n)$ à $\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|=\sum_{k=1}^n |z_k|$ pour en déduire que, pour $k=1,\dots,n$, il existe $\lambda_k\in\mathbb R_+$ tel que $z_k=\lambda_k z_1$. On en déduit que $Z_1=(1+\lambda_2+\dots+\lambda_n)z_1$ est non-nul, et on peut donc appliquer $\mathcal P(2)$ à $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$. Il existe donc $\mu\in\mathbb R_+$ tel que $z_{n+1}=\mu Z_1$. Posant $\lambda_{n+1}=\mu(1+\lambda_2+\dots+\lambda_n)$, on en déduit que $\mathcal P(n+1)$ est vraie. Il reste à écrire la conclusion du raisonnement par récurrence.

Exercice 8

- Somme et puissances de racines $n$-iemes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $n\geq 1$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.

Calculer le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.
Soit $p\geq 0$. Calculer $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kp}$.
En déduire que $\sum_{k=0}^{n-1}(1+\omega^k)^n =2n$.

Exercice 9

- Les huit carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit la figure suivante :

Le but de l'exercice est de démontrer que $\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$. On se place dans le repère orthonormé direct $(A,\vec u,\vec v)$ où $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AD}$.

Reproduire la figure et placer les points $E$ et $F$ sur $[DZ]$ tels que $\beta$ et $\gamma$ soient des mesures respectives de $(\vec u,\overrightarrow{AE})$ et $(\vec u,\overrightarrow{AF})$.
Quelles sont les affixes $z_Z,$ $z_E$ et $z_F$ des points $Z$, $E$ et $F$?
Démontrer que $z_Z\times z_E\times z_F=65(1+i)$.
Conclure.

Exercice 10

- Une coquille d'escargot [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O,\vec i,\vec j)$, on note $A_0$ le point d'affixe 6 et $S$ la similitude de centre $O$, de rapport $\frac{\sqrt 3}2$ et d'angle $\frac\pi 6$. On pose $A_{n+1}=S(A_n)$ pour $n\geq 1$.

Déterminer, en fonction de $n$, l'affixe du point $A_n$. En déduire que $A_{12}$ est sur la demi-droite $(O,\vec i)$.
Établir que le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
Calculer la longueur du segment $[A_0A_1]$. En déduire la longueur $\ell$ de la ligne polygonale $A_0A_1A_2\dots A_{12}.$