Démonstrations capes - les suites

Raisonnons par l'absurde. Si $\ell_1\neq \ell_2$, il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $\ell_1$ et un intervalle ouvert $J$ contenant $\ell_2$ tel que $I\cap J=\varnothing$. Puisque $(u_n)$ converge vers $\ell_1$, il existe un entier $n_1$ tel que, pour $n\geq n_1$, $u_n\in I$. Puisque $(u_n)$ converge vers $\ell_2$, il existe un entier $n_2$ tel que, pour $n\geq n_2$, $u_n\in J$. Posons $n=\max(n_1,n_2)$. Alors $u_n\in I\cap J$ ce qui contredit que $I\cap J=\varnothing$.

Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $\ell$. Alors il existe un entier $n_1$ tel que tous les termes de la suite $(u_n)$, à partir de $n_1$, sont éléments de $I$. Il existe un entier $n_2$ tel que tous les termes de la suite $(w_n)$, à partir de $n_2$, sont éléments de $I$. Puisque $v_n$ est compris entre $u_n$ et $w_n$, à partir du rang $n_0=\max(n_1,n_2)$, tous les termes de la suite $(v_n)$ sont dans $I$.

Raisonnons par contraposée et prouvons que, si $\ell_1>\ell_2$, alors il existe un entier $n$ tel que $u_n>v_n$. Si $\ell_1>\ell_2$, alors il existe un intervalle ouvert $I=]a,b[$ contenant $\ell_1$ et un intervalle ouvert $J=]c,d[$ contenant $\ell_2$ tel que $d\leq a$ (faire un dessin sur la droite réelle, ou poser $\veps=(\ell_1-\ell_2)/2$ et $I=]\ell_1-\veps,+\infty[$, $J=]-\infty,\ell_2+\veps[$). Il existe un rang $n_1$ tel que, pour tout $n\geq n_1$, on a $u_n\in I$ et il existe un rang $n_2$ tel que, pour tout $n\geq n_2$, on a $v_n\in J$. En particulier, pour $n=\max(n_1,n_2)$, on a $$u_n>a\geq d>v_n.$$

Raisonnons par l'absurde et supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe donc un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}>\ell$. Posons $I=]-\infty,u_{n_0}[$. $I$ est un intervalle ouvert contenant $\ell$. Par définition de la limite d'une suite, $I$ contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang. Mais pour tout $n\geq n_0$, on a $u_n\geq u_{n_0}$ et donc $u_n\notin I$. C'est une contradiction.

Posons $I=]\ell/2,+\infty[$. Alors $\ell\in I$ et puisque $(u_n)$ converge vers $\ell$, tous les termes de $(u_n)$ sont éléments de $I$ à partir d'un certain rang. Ainsi, à partir d'un certain rang, $u_n>\ell/2\geq 0$.

Ce théorème, sans doute l'un des plus importants de l'analyse, n'est pas accessible à l'aide d'outils de Terminale S. Il reste néanmoins indispensable de connaitre sa preuve. Elle est basée sur la propriété suivante : si $A$ est une partie de $\mathbb R$ non vide et majorée, alors $A$ admet une borne supérieure. Rappelons que $\ell$ est la borne supérieure d'une partie $A$ lorsque les deux propriétés suivantes sont vraies : Dans notre cas, on va appliquer ceci à l'ensemble $A=\{u_n;\ n\in\mathbb N\}$. $A$ est non vide, et $A$ est majoré. Notons $\ell$ sa borne supérieure et prouvons que $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ converge vers $\ell$. On va se ramener à la définition d'une suite convergente. Fixons $\veps>0$ et prouvons que tous les termes de la suite, à partir d'un certain rang, sont dans l'intervalle $[\ell-\veps,\ell+\veps]$. La deuxième partie de la propriété de la borne supérieure nous dit qu'il existe au moins un terme dans cet intervalle : il existe $N\in\mathbb N$ tel que $\ell-\veps\leq u_N\leq \ell$. La croissance de $(u_n)$ nous donne alors que tous les termes à partir de celui de rang $N$ conviennent. En effet, pour $n\geq N$, on a $\ell-\veps\leq u_N\leq u_n$ et aussi $u_n\leq \ell$ car $\ell$ est un majorant de $(u_n)$. On a donc bien, pour tout $n\geq N$, $\ell-\veps\leq u_n\leq\ell+\veps$ et donc la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Soit $A>0$. Alors, puisque $(u_n)$ n'est pas majorée, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}\geq A$. Puisque $(u_n)$ est croissante, pour tout entier $n\geq n_0$, on a $u_n\geq u_{n_0}\geq A$. Ceci signifie exactement que $(u_n)$ tend vers $+\infty$

Cette démonstration n'est pas accessible en Terminale, car on ne dispose pas de la notion de continuité et de limite de fonctions avec des quantificateurs. Il s'agit ici d'un problème de "double limite". Soit $\veps>0$. Puisque $f$ est continue en $\ell$, il existe un réel $\delta>0$ tel que $$|x-\ell|<\delta\implies |f(x)-f(\ell)|<\veps.$$ Puisque $(u_n)$ converge vers $\ell$, il existe un entier $n_0$ tel que $$n\geq n_0\implies |u_n-\ell|<\delta.$$ Couplant ces deux propriétés, on trouve que $$n\geq n_0\implies |f(u_n)-f(\ell)|<\veps.$$ C'est exactement l'écriture (avec des quantificateurs) du fait que $(f(u_n))$ converge vers $f(\ell)$.

Méthode 1 : le résultat est clairement vrai si $n=0,1$. Pour $n\geq 2,$ on pose, pour $x>-1$, $f(x)=(1+x)^n-(1+nx)$. Alors $f$ est dérivable sur $]-1,+\infty[$ et sa dérivée est donnée, pour $x>-1$, par $$f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=n\big ((1+x)^{n-1} -1\big).$$ Or, pour $x>-1$, $(1+x)^{n-1}\geq 1\iff (1+x)\geq 1\iff x\geq 0.$ La fonction $f$ est donc décroissante sur $]-1,0]$ et croissante sur $[0,+\infty[$. Puisque $f(0)=0$, on en déduit que $f\geq 0$ sur $]-1,+\infty[$, ce qu'il fallait démontrer.

Méthode 2 : on fixe $x>-1$ et on considère, pour $n\in\mathbb N$, la proposition suivante : $$\mathcal P(n)="(1+x)^n\geq 1+nx".$$ Démontrons par récurrence sur $n\in\mathbb N$ cette propriété.

Initialisation : On a $(1+x)^0=1$ et $1+0x=1$. La propriété $\mathcal P(0)$ est donc vraie.

Hérédité : Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ soit vrai. Alors, on écrit que $$(1+x)^{n+1}=(1+x)^n (1+x)$$ et on utilise l'hypothèse de récurrence. Puisque $1+x>0$, les inégalités ne changent pas de signe et on obtient donc $$(1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2\geq 1+(n+1)x.$$ Ceci démontre que $\mathcal P(n+1)$ est vraie.

Par le principe de récurrence, la propriété $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier $n$.

Remarquons d'abord que l'énoncé est clair si $q=-1,0$ ou $1$ et nous exclurons désormais ces trois cas. Supposons ensuite que $q>1$. La preuve s'appuie sur l'inégalité de Bernoulli, en remarquant que $$q^n=\big(1+(q-1)\big)^n\geq 1+n(q-1).$$ Puisque $q-1>0$, $1+n(q-1)$ tend vers $+\infty$. Par comparaison, il en est de même de la suite $(q^n)$.

Supposons maintenant $q\in ]-1,1[$ avec $q\neq 0$ et posons $\rho=\frac 1{|q|}$. Alors $\rho>1$ et $(\rho^n)$ tend vers $+\infty$. Mais on peut écrire $$|q^n|=\frac{1}{\rho^n}.$$ Par les opérations sur les limites de suite, ceci entraine que $(|q|^n)$, et donc que $(q^n)$, tend vers $0$.

Enfin, si $q<-1$, il est clair que $q^n$ est positif si $n$ est pair et négatif si $n$ est impair. Puisque $|q|>1$, la suite $(|q^n|)$ tend vers $+\infty$.

On peut aussi se passer de l'inégalité de Bernoulli en démontrant d'abord que la suite $(q^n)$ tend vers $0$ lorsque $q\in ]0,1[$. Notons en effet pour $n\geq 0$, $u_n=q^n$. Alors $(u_n)$ est une suite strictement positive (évident) et décroissante : $$u_{n+1}-u_n=q^n(q-1)<0.$$ Elle est donc décroissante et minorée, donc convergente. Notons $\ell$ sa limite. Puisque $u_{n+1}=qu_n$, $\ell$ vérifie $\ell=q\ell$ ce qui entraine, puisque $q\neq 1$, $\ell=0$. On peut alors retrouver le comportement de $(q^n)$ pour les autres valeurs de $q$ en procédant comme ci-dessus.

Sans perte de généralité, on peut supposer que $u_1\geq u_0$. Démontrons par récurrence sur $n\in\mathbb N$ la propriété $\mathcal P(n)$ suivante : $$\mathcal P(n) = "u_{n+1}\geq u_n".$$ Initialisation : $\mathcal P(0)$ est vraie.

Hérédité : Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie. Alors on a $$u_{n+1}\geq u_n.$$ Puisque $f$ est croissante, on en déduit que $$f(u_{n+1})\geq f(u_n)$$ c'est-à-dire $$u_{n+2}\geq u_{n+1}.$$ La propriété $\mathcal P(n+1)$ est donc vraie.

Par le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier $n$ et on a bien démontré que la suite $(u_n)$ est croissante.

On commence par démontrer que les hypothèses entrainent que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n\leq v_n$. Pour cela, on remarque que la suite $(v_n-u_n)$ est décroissante et tend vers $0$. Tous les termes de cette suite sont donc supérieurs à sa limite, c'est-à-dire que, pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n-u_n\geq 0$.

Puisque $(u_n)$ est une suite croissante, il suffit de démontrer qu'elle est majorée pour prouver qu'elle converge. Mais, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\leq v_n\leq v_0$ (puisque $(v_n)$ est décroissante). Ainsi, $(u_n)$ est une suite croissante et majorée, elle converge. Notons $\ell_1$ sa limite. De même, l'inégalité, valable pour tout $n\in\mathbb N$, $$u_0\leq u_n\leq v_n$$ prouve que $(v_n)$ est une suite minorée. Comme elle est décroissante, elle converge et notons $\ell_2$ sa limite. Alors, $(u_n-v_n)$ tend vers $\ell_1-\ell_2$. Mais on sait que $(u_n-v_n)$ tend vers 0. Par unicité de la limite d'une suite, $\ell_1=\ell_2$.