Réduction des endomorphismes
$E$ désigne un $\mathbb K$-espace vectoriel, $\mathbb K$ étant le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, et $u$ désigne un élément de $\mathcal L(E)$. On rappelle la notation suivante : $$u^n=u\circ u\circ\dots \circ u\textrm{ de sorte que }u^{p+q}=u^p\circ u^q.$$Soit $u,v\in\mathcal L(E)$ et soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
On dit qu'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$. On peut alors définir un endomorphisme $u_F$ de $F$ en posant $u_F(x)=u(x)$ pour tout $x\in F$. $u_F$ s'appelle l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$.
Lorsque $E$ est de dimension finie, on a la caractérisation matricielle suivante de la stabilité.
Plus généralement, si $E=\bigoplus_{i=1}^p E_i$ et si $\mathcal B$ est une base adaptée à cette décomposition, alors tous les sous-espaces vectoriels $E_i$ sont stables par $u$ si et seulement si $u$ admet dans cette base une matrice diagonale par blocs $$\textrm{Mat}(u,\mathcal B)=\begin{pmatrix} A_1&0&\dots&0\\ 0&A_2&0&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&A_p \end{pmatrix}.$$
On dit que $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non-nul $x\in E$ tel que $u(x)=\lambda x$. Le vecteur $x$ s'appelle alors un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$ et la droite $\textrm{vect}(x)$ est une droite stable par $u.$
Si $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$, le sous-espace propre associé à $\lambda$ est le sous-espace $E_\lambda=\ker(u-\lambda Id_E)$.
L'ensemble des valeurs propres de $u$ s'appelle le spectre de $u$ et est noté $\textrm{Sp}(u)$.
La matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ définit un endomorphisme de $\mathbb K^n$ par $X\mapsto AX$. On définit valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de $A$ comme les valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de l'endomorphisme de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$. En particulier, un vecteur $X$ non-nul est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$ si et seulement si $AX=\lambda X$.
On dit que deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont semblables s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ tel que $A=PBP^{-1}$.
$E$ est désormais de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
On appelle polynôme caractéristique de $A$ le polynôme de degré $n$ $$\chi_A(X)=\det(XI_n-A).$$ En particulier, si $A$ est une matrice triangulaire (inférieure ou supérieure) dont les coefficients diagonaux sont $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, alors le polynôme caractéristique de $A$ est $$\chi_A(X)=(X-\lambda_1)\cdots (X-\lambda_n).$$
On appelle polynôme caractéristique de $u$ le polynôme caractéristique de toute matrice $A$ représentant $u$ dans une base de $E$. On le note $\chi_u(X)$.
En particulier, si $A\in\mathcal M_2(\mathbb K),$ on a $$\chi_A(X)=X^2-\textrm{tr}(A) X+\det(A).$$
Le polynôme caractéristique est intéressant pour déterminer les valeurs propres d'une matrice.
On appelle multiplicité de la valeur propre $\lambda$ sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique. On la note $\textrm{mult}(\lambda)$.
L'espace vectoriel $E$ est de dimension finie $n$.
On dit que $u\in\mathcal L(E)$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale. Une telle base est donc constituée de vecteurs propres pour $u$.
- $u$ est diagonalisable.
- la somme des sous-espaces propres de $u$ est égale à $E$.
- $\sum_{\lambda\in \textrm{Sp(u)}}\dim(E_\lambda)=\dim(E).$
On dit que la matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est diagonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est diagonalisable.
En particulier, si $A$ est diagonalisable, sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres (chaque valeur propre étant répétée autant de fois que sa multiplicité) et son déterminant est égal au produit de ses valeurs propres (répétées là aussi autant de fois que leur multiplicité).
L'espace vectoriel $E$ est de dimension finie $n$.
On dit que $u\in\mathcal L(E)$ est trigonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
On dit que $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est trigonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est trigonalisable.
En particulier, si $A$ est trigonalisable, sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres (chaque valeur propre étant répétée autant de fois que sa multiplicité) et son déterminant est égal au produit de ses valeurs propres (répétées là aussi autant de fois que leur multiplicité).
Soit $P\in\mathbb K[X]$ qu'on écrit $P(X)=a_dX^d+a_{d-1}X^{d-1}+\dots+a_1X+a_0$. On note $P(u)$ l'endomorphisme de $E$ défini par $$P(u)=a_d u^d+a_{d-1}u^{d-1}+\dots+a_1u+a_0Id_E.$$
En particulier, la proposition précédente implique que, pour tous $P,Q\in\mathbb K[X]$, on a $$(PQ)(u)=P(u)\circ Q(u).$$
Le polynôme minimal de $u$ est donc caractérisé par $\pi_u$ est unitaire, $\pi_u(u)=0$ et si $P\in\mathbb K[X]$ est tel que $P(u)=0$, alors $\pi_u|P$.
Dans la suite, on supposera désormais que $E$ est de dimension finie.
On définit les mêmes notions pour une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. Toutes les propriétés analogues sont vérifiées.
- Théorème : $u$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme scindé à racines simples annulant $u$, si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.
- Proposition : Soit $F$ un sous-espace stable par $u$ et notons $u_F$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$. Alors son polynôme minimal divise le polynôme minimal de $u$.
- Corollaire : Si $F$ est un sous-espace stable par $u$ et si $u$ est diagonalisable, alors l'endomorphisme induit $u_F$ par $u$ sur $F$ est lui-même diagonalisable.