Intégrales impropres
$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. On considère $f:[a,+\infty[\to\mathbb K$ continue par morceaux, et on souhaite donner un sens à $\int_a^{+\infty}f(t)dt$, ce qui est souvent utile en probabilité.Intégrale impropre
- Soit $f:[a,+\infty[\to \mathbb K$ continue par morceaux. On dit que l'intégrale $\int_a^{+\infty}f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Dans ce cas, on note $\int_a^{+\infty} f(t)dt$ ou $\int_a^{+\infty}f$ cette limite.
- Soit $f:[a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ cette limite.
- Soit $f:]a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) $c\in ]a,b[$, la fonction $x\mapsto \int_c^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$ et la fonction $x\mapsto \int_x^c f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ la somme de ces deux limites : $$\int_a^b f=\lim_{x\to a}\int_x^c f+\lim_{y\to b}\int_c^yf.$$
Cas des fonctions positives
- Théorème (cas des fonctions positives) : Si $f:[a,b[\to\mathbb R$ est positive, alors $\int_a^{b}f$ converge si et seulement si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est majorée sur $[a,b[$.
- Pour prouver la convergence ou la divergence d'une intégrale impropre, on va souvent se ramener à des fonctions classiques, grâce aux théorèmes suivants.
Théorème de majoration Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continues par morceaux telles que $0\leq f\leq g$. Alors
- si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge;
- si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge.
- Corollaire Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continues par morceaux, positives ou nulles, telles que $f\sim_b g$. Alors $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont de même nature.
- Théorème (intégrales de Riemann) :
- L'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>1$.
- L'intégrale $\int_a^b \frac{dx}{(x-a)^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha<1$.
Fonctions intégrables- On dit que $f$ est intégrable sur $I=[a,b[$ ou que $\int_If$ est absolument convergente si $\int_I|f|$ converge.
- Théorème : Si $f$ est intégrable sur $I$, alors $\int_I f(t)dt$ converge.
- Corollaire : Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continues par morceaux avec $g\geq 0$ et $f(t)=_b o\big(g(t))$. Si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $f$ est intégrable sur $[a,b]$. En particulier, $\int_a^b f(t)dt$ converge.
Intégration par parties et changement de variables- Théorème (changement de variables) : Soit $f$ une fonction continue sur $]a,b[$ et $\varphi :]\alpha,\beta\to ]a,b[$ bijective, strictement croissante et de classe $\mathcal C^1$, les intégrales $\int_a^b f (t)dt$ et $\int_\alpha^\beta f\circ\varphi(u)\varphi'(u)du$ sont de même nature et égales en cas de convergence.
- Théorème (intégration par parties) : Soient $f,g:]a,b[\to\mathbb R$ deux fonctions de classe $\mathcal C^1$ telles que $\lim_{t\to a}f(t)g(t)$ et $\lim_{t\to b}f(t)g(t)$ existent. Alors les intégrales $\int_a^b f(t)g'(t)dt$ et $\int_a^b f'(t)g(t)dt$ sont de même nature. Lorsqu'elles sont convergentes, on a $$\int_a^b f'(t)g(t)dt=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b f(t)g'(t)dt.$$