Capes : Transformée de Laplace

Tracer le graphe et calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \mathcal U(t-1)-\mathcal U(t-2)&\quad&\mathbf 2. \mathcal U(t-2)(t-2)^2\\ \end{array} $$

Déterminer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ (2t^2-1)\mathcal U(t)&\quad&\mathbf 2.\ \left(e^t-\cos\left(\frac 23t\right)e^{2t}\right)\mathcal U(t)\\ \mathbf 3.\ te^{4t}\mathcal U(t) \end{array} $$

On pose $$f(t)=(1-\cos t)\mathcal U(t),\ g(t)=e^{-t}f(t).$$

1. Montrer que $\mathcal L(f)(p)=\frac{1}{p(p^2+1)}$.
2. Calculer, pour $t>0$, $g'(t)$. Que valent $\lim_{x\to 0^+}g(x)$ et $\lim_{x\to 0^+}g'(x)$?
3. En déduire que $$\mathcal L\left(e^t g''\right)(p)=\frac{(p-1)^2}{p(p^2+1)}.$$

On considère la fonction causale $f$ dont le graphe est donné par la représentation graphique suivante :

1. Déterminer l'expression de $f$ sur les intervalles $[0,1]$, $[1,2]$ et $[2,+\infty[$.
2. Démontrer que $$f(t)=t\mathcal U(t)-2(t-1)\mathcal U(t-1)+(t-2)\mathcal U(t-2).$$
3. En déduire la transformée de Laplace de $f$.

Retrouver l'originale des transformée de Laplace suivantes :

1. $\displaystyle \frac1{(p+1)(p-2)}$. On pourra chercher $a,b$ tels que $$\frac{1}{(p+1)(p-2)}=\frac a{p+1}+\frac b{p-2}.$$
2. $\displaystyle \frac{e^{-2p}}{p+3}$.
3. $\displaystyle \frac{5p+10}{p^2+3p-4}$. On pourra chercher $a$ et $b$ tels que $$\frac{5p+10}{p^2+3p-4}=\frac a{p+4}+\frac b{p-1}.$$
4. $\displaystyle \frac{p-7}{(p-7)^2+1}$.
5. $\displaystyle \frac{p}{p^2-6p+13}$. On pourra remarque que $p^2-6p+13=(p-3)^2+4$.

On se propose de résoudre le système différentiel suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&-x+y+\mathcal U(t)e^t,\ x(0)=1\\ y'&=&x-y+\mathcal U(t)e^t,\ y(0)=1. \end{array} \right.$$ Pour cela, on admet que $x$ possède une transformée de Laplace notée $F$ et que $y$ possède une transformée de Laplace notée $G$.

1. Démontrer que $F$ et $G$ sont solutions du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} (p+1)F(p)-G(p)&=&\frac 1{p-1}+1=\frac p{p-1}\\ -F(p)+(p+1)G(p)&=&\frac1{p-1}+1=\frac p{p-1}. \end{array} \right.$$
2. En déduire que $F(p)=G(p)=\frac{1}{p-1}$.
3. En déduire $x$ et $y$.

Dans un circuit comprenant en série un condensateur de capacité $C$ et une résistance $R$, la tension $v$ aux bornes du condensateur est donnée par $$RC v'(t)+v(t)=e(t)$$ où $e(t)$ est la tension d'excitation aux bornes du circuit. Supposons que $v(0)=0$. Notons $V=\mathcal L(v)$ et $E=\mathcal L(e)$.

1. Établir la relation entre $V$ et $E$ sous forme $V(p)=T(p)E(p)$ avec une fonction $T$ que l'on déterminera. La fonction $T$ est appelée fonction de transfert.
   Dans la suite, on supposera que $R=1000\Omega$ et $C=0,002F$.
2. On pose $F(p)=\frac{1}{p(2p+1)}$. Déterminer $a$ et $b$ de sorte que $$F(p)=\frac cp+\frac d{p+\frac 12}.$$ En déduire une fonction causale $f$ dont $F$ soit la transformée de Laplace.
3. On suppose que l'excitation aux bornes du circuit est un échelon de tension, $e(t)=\mathcal U(t)$. Déterminer la réponse $v(t)$ du circuit. Représenter cette fonction à l'aide du logiciel de votre choix. Comment interprétez-vous cela?
4. Déterminer une fonction causale dont la transformée de Laplace soit $$\frac{e^{(t-t_0)p}}{p-a}.$$
5. On suppose que l'excitation aux bornes du circuit est un créneau, $e(t)=H(t)-H(t-t_0)$. Déterminer la réponse $v(t)$ du circuit. Représenter cette fonction à l'aide du logiciel de votre choix. Comment interprétez-vous cela? Tracer les graphes correspondants.

On considère la fonction causale $e$ définie sur $\mathbb R$ par $$e(t)=4\big(\mathcal U(t)-\mathcal U(t-2)\big).$$

1. Représenter graphiquement $e$ dans un repère orthonormé.
2. On note $E$ la transformée de Laplace de $e$. Calculer $E$.
3. L'étude d'un circuit électrique conduit à étudier la tension de sortie $s$ reliée à la tension d'entrée $e$ par la formule $$4s'(t)+s(t)=e(t),\ s(0)=0.$$ On admet que $s$ admet une transformée de Laplace notée $S$. Démontrer que $$S(p)=\frac 1{p\left(p+\frac14\right)}\left(1-e^{-2p}\right).$$
4. Déterminer des réels $a$ et $b$ tels que $$\frac 1{p\left(p+\frac14\right)}=\frac a{p}+\frac b{p+\frac 14}.$$
5. Déterminer l'original des fonctions suivantes : $$ \frac 1p,\quad \frac{e^{-2p}}p,\quad \frac{1}{p+\frac 14},\ \frac{e^{-2p}}{p+\frac 14}.$$
6. En déduire la valeur de $s$.
7. Vérifier que $$s(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{si t<0}\\ 4-4e^{-t/4}&\textrm{si }0\leq t<2\\ 4\left(e^{1/2}-1\right)e^{-t/4}&\textrm{si }t\geq 2. \end{array}\right.$$