Exercices corrigés -Espaces probabilisés infinis dénombrables

Exercice 1

- Des lancers de dés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On lance un dé équilibré jusqu'à l'obtention d'un 6. Quelle est la probabilité que tous les nombres obtenus soient pairs?

Indication

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Exercice 2

- Les footballeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Émile est un excellent footballeur. La probabilité qu'il marque un but lorsqu'il tire un pénalty est égale à $2/3$. Paulin est un peu moins fort. La probabilité qu'il marque un but lorsqu'il tire un pénalty est égale à $1/2$. Émile lance un défi à Paulin. Chacun va tirer un pénalty à son tour, en commençant par Paulin. Le premier qui marque a gagné. Quelle est la probabilité que Émile gagne?

Indication

Corrigé

Exercice 3

- Une suite de jeux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Des joueurs $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ s'affrontent de la manière suivante : chaque manche oppose deux concurrents qui ont chacun la probabilité $\frac 12$ de gagner. La première manche oppose $A_1$ et $A_2$ et, à l'étape $n$, si elle a lieu, le gagnant de l'épreuve précédente affronte le joueur $A_{n+1}$. Le jeu s'arrête lorsque, pour la première fois, un joueur gagne deux manches consécutives.

Quelle est la probabilité que l'étape $n$ ait lieu?
En déduire que le jeu s'arrête presque sûrement.
Quelle est la probabilité que le joueur $A_n$ gagne?

Indication

Corrigé

Exercice 4

- Tirer un nombre au hasard [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On tire au hasard un nombre entier strictement positif. On suppose que la probabilité d'obtenir $n$ vaut $1/2^n$. Pour $k\in\mathbb N^*$, on note $A_k$ l'événement "$n$ est un multiple de $k$".

Vérifier que ceci définit une probabilité sur $\mathbb N^*$.
Calculer la probabilité de $A_k$ pour $k\in\mathbb N^*$.
Calculer la probabilité de $A_2\cup A_3$.
Montrer que pour $p,q\geq 2$, alors $A_p$ et $A_q$ ne sont pas indépendants.

Indication

Corrigé

Exercice 5

- Tirage de boule avec remise double [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une série de tirages aléatoires d’une boule jusqu’à obtenir une boule noire. A chaque tirage amenant une boule blanche, on replace la boule blanche puis on multiplie par 2 le nombre de boules blanches présentes dans l’urne après la remise de la boule, puis on procède au tirage suivant. L’objectif de l’exercice est d’évaluer la probabilité de ne jamais obtenir de boule noire, et de déterminer en particulier si cette probabilité est nulle.

Etude algorithmique : Dans cette question, on s'intéresse à l'événement suivant : $E="$les dix premiers tirages ont lieu et n'amènent pas de boule noire".
1. Compléter la fonction Python suivante afin qu'elle simule la réalisation d'une telle expérience, et affiche $1$ si l'événement $E$ a eu lieu, et $0$ sinon.
  
  import random
  
  def experience():
      etape=....
      succes=...
      nbboulesblanches=1
      while ( (succes...) & (etape....)):
          if (random.random()....):
              ....
          else:
              ...
          etape=etape+1
      return succes
2. Créer une autre fonction Python qui répète l'expérience $N$ fois et retourne la fréquence de réalisation de l'événement.
3. L'exécution de cet algorithme pour $N=10000$ a donné une fréquence valant 0,2091. Donner un intervalle contenant $P(E)$ avec une probabilité supérieure ou égale à 0.95.
Etude pour un nombre fini de tirages. Pour $n\geq 1$, on note $B_n$ l'événement : "Les $n$ premiers tirages ont lieu et n'amènent pas de boules noires". On note $u_n=P(B_n)$.
1. Démontrer, sans chercher à calculer $u_n$, que la suite $(u_n)$ est convergente.
2. Démontrer que $u_n=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2^k}{1+2^k}.$
Etude à l'infini. On note $B_\infty$ l'événement : "l'expérience ne s'arrête jamais".
1. Démontrer que $P(B_\infty)=\lim_{n\to+\infty}u_n$.
2. Vérifier que $-\ln(u_n)=\sum_{k=0}^{n-1}\ln(1+2^{-k})$.
3. Démontrer que la série $\sum_{k\geq 0}\ln(1+2^{-k})$ est convergente.
4. En déduire que $P(B_\infty)>0$.

Indication

Corrigé

1. Voici une possibilité :
  
  import random
  
  def experience():
      etape=1
      succes=1
      nbboulesblanches=1
      while ( (succes==1) & (etape<=10)):
          if (random.random()<1/(1+nbboulesblanches)):
              succes=0
          else:
              nbboulesblanches=2*nbboulesblanches
          etape=etape+1
      return succes
  
  La variable etape retient le numéro du tirage effectué. La variable succes vaut 0 tant qu'on n'a pas tiré une boule noire.
2. On appelle $N$ fois la fonction experience par une boucle for, et on comptabilise le nombre de succès.
  
  def repet(N):
      total=0
      for i in range(N):
          total=total+experience()
      return total/N
3. Notons $p$ la probabilité de $E$ et $f$ la fréquence trouvée. On a répété $N$ fois de façon indépendante une même expérience aléatoire avec probabilité $p$ de succès. On a trouvé une fréquence $f$ de réalisation. Un intervalle de confiance au seuil de 5% est donc l'intervalle $$\left[f-1,96\frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt N},f+1,96\frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt N}\right]\simeq [0,2011;0.2171].$$
1. On a $B_{n+1}\subset B_n$ et donc $u_{n+1}\leq u_n$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante. Comme elle est minorée par $0$, elle est convergente.
2. Fixons $k\geq 1$ et calculons la probabilité $P(B_k|B_1\cap\dots\cap B_{k-1})$. Au $k$-ième tirage, on a $1$ boule noire et $2^{k-1}$ boules blanches (puisqu'on multiplie par deux le nombre de boules blanches à chaque étape). La probabilité de piocher une boule blanche est donc de $2^{k-1}/(1+2^{k-1})$. On a donc $$P(B_k|B_1\cap\dots\cap B_{k-1})=\frac{2^{k-1}}{1+2^{k-1}}.$$ Maintenant, par la formule des probabilités composées, on a \begin{align*} P(B_n)&=P(B_n|B_{n-1}\cap B_{n-2}\cap\dots\cap B_1)P(B_{n-1}|B_{n-2}\cap \dots\cap B_1)\cdots P(B_2|B_1)P(B_1)\\ &=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2^k}{1+2^k}. \end{align*}
1. On a $B_\infty=\bigcap_n B_n$. De plus, la suite d'événements $(B_n)$ est décroissante pour l'inclusion. On en déduit que $P(B_\infty)=\lim_n P(B_n)=\lim_{n\to+\infty}u_n$.
2. Par les propriétés fonctionnelles du logarithme, \begin{eqnarray*} -\ln(u_n)&=&\sum_{k=1}^{n-1}-\ln\left(\frac{2^k}{1+2^k}\right)\\ &=&\sum_{k=1}^{n-1}\ln \left(\frac{1+2^k}{2^k}\right)\\ &=&\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+2^{-k}\right). \end{eqnarray*}
3. La sulte $\ln(1+2^{-k})$ est toujours positive. On a aussi que $$\ln(1+2^{-k})\sim_{+\infty}2^{-k}.$$ De plus, la série $\sum_k 2^{-k}$ est convergente. Donc par comparaison la série $\sum_k \ln(1+2^{-k})$ est convergente.
4. D'après la question précédente, il existe un $\lambda\in\mathbb R$ tel que $\ln(u_n)$ tend vers $\lambda$. Par continuité de la fonction exponentielle, $u_n\to e^\lambda>0$. Et $P(B_\infty)=\lim_n u_n=e^{\lambda}.$

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