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Exercices corrigés - Relations d'équivalence et relations d'ordre
Relations
Enoncé
Dire si les relations suivantes sont réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives :
- $E=\mathbb Z$ et $x\mathcal R y\iff x=-y$;
- $E=\mathbb R$ et $x\mathcal R y\iff \cos^2 x+\sin^2 y=1$;
- $E=\mathbb N$ et $x\mathcal R y\iff \exists p,q\geq 1,\ y=px^q$ ($p$ et $q$ sont des entiers).
Enoncé
La relation d'orthogonalité entre deux droites du plan est-elle symétrique? réflexive? transitive?
Relations d'équivalence
Exercice 3 - Classe d'équivalence sur $\mathbb R^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Sur $\mathbb R^2$, on définit la relation d'équivalence $\mathcal R$ par
$$(x,y)\mathcal R (x',y')\iff x=x'.$$
Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence, puis déterminer la classe d'équivalence d'un élément $(x_0,y_0)\in\mathbb R^2$.
Enoncé
On définit sur $\mathbb R$ la relation $x\mathcal R y$ si et seulement si
$x^2-y^2=x-y$.
- Montrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence.
- Calculer la classe d'équivalence d'un élément $x$ de $\mathbb R$. Combien y-a-t-il d'éléments dans cette classe?
Enoncé
On munit l'ensemble $E=\mathbb R^2$ de la relation $\cal R$ définie par
$$(x, y)\ {\cal R}\ (x',y')\iff\exists a>0,\ \exists b>0\mid x'=ax{\rm \ et\ }y'=by.$$
- Montrer que $\cal R$ est une relation d'équivalence.
- Donner la classe d'équivalence des éléments $A=(1,0)$, $B=(0,-1)$ et $C=(1,1)$.
- Déterminer les classes d'équivalence de $\mathcal{R}$.
Exercice 6 - Parties égales ou égales au complémentaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble. On définit sur $\mathcal P(E)$, l'ensemble des parties de $E$, la relation suivante :
$$A\mathcal R B\textrm{ si }A=B\textrm{ ou }A=\bar B,$$
où $\bar B$ est le complémentaire de $B$ (dans $E$).
Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence.
Enoncé
On définit sur $\mathbb Z$ la relation $x\mathcal R y$ si et seulement si
$x+y$ est pair. Montrer qu'on définit ainsi une relation d'équivalence.
Quelles sont les classes d'équivalence de cette relation?
Exercice 8 - Relation d'équivalence en théorie des ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble et $A\in\mathcal P(E)$. Deux parties $B$ et $C$ de $E$ sont en relation, noté $B\mathcal R C$, si $B\Delta C\subset A$.
- Montrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence
- Soit $B\in \mathcal P(E)$. Montrer que la classe de $B$ est $\{(B\cap A^c)\cup K;\ K\in\mathcal P(A)\}$.
Exercice 9 - Relation d'équivalence et théorie des ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble non-vide et $\alpha\subset\mathcal P(E)$ non-vide vérifiant la propriété suivante :
$$\forall X,Y\in\alpha,\ \exists Z\in\alpha, Z\subset (X\cap Y).$$
On définit sur $\mathcal P(E)$ la relation $\sim$ par $A\sim B\iff \exists X\in\alpha,\ X\cap A=X\cap B$.
Prouver que ceci définit une relation d'équivalence sur $\mathcal P(E)$. Quelles sont les classes d'équivalence de $\varnothing$ et de $E$?
Relations d'ordre
Exercice 10 - Une relation d'ordre sur les entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit la relation $\mathcal R$ sur $\mathbb N^*$ par $p\mathcal R q\iff \exists k\in\mathbb N^*,\ q=p^k$. Montrer que $\mathcal R$ définit un ordre partiel sur $\mathbb N^*$.
Déterminer les majorants de $\{2,3\}$ pour cet ordre.
Enoncé
On définir sur $\mathbb R^2$ la relation $\prec$ par
$$(x,y)\prec (x',y')\iff \big( (x<x')\textrm{ ou }(x=x'\textrm{ et }y\leq y')\big).$$
Démontrer que ceci définit une relation d'ordre sur $\mathbb R^2$.
Enoncé
On munit $\mathbb R^2$ de la relation notée $\prec$ définie par
$$(x,y)\prec (x',y')\iff x\leq x'\textrm{ et }y\leq y'.$$
- Démontrer que $\prec$ est une relation d'ordre sur $\mathbb R^2$. L'ordre est-il total?
- Le disque fermé de centre $O$ et de rayon 1 a-t-il des majorants? un plus grand élément? une borne supérieure?
Enoncé
Soit $E$ un ensemble ordonné. Démontrer que toute partie de $E$ admet un élément maximal si et seulement si toute suite croissante de $E$ est stationnaire.
Exercice 14 - Ordre bien fondé et ordre lexicographique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'un ordre $\leq$ sur un ensemble $E$ est bien fondé s'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante $(x_n)$ de $E$. Démontrer que $\mathbb N^2$ muni de l'ordre lexicographique est bien fondé.