Enoncé Soit $A,B,C$ trois points distincts tels que $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$. Démontrer
qu'il existe une unique homothétie qui transforme $A$ en $B$ et $B$ en $C$.
Corrigé Supposons d'abord qu'une telle homothétie existe, notons $O$ son centre et $k$ son rapport. Alors on a
$\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OB}$.
Utilisant la relation de Chasles, ceci s'écrit encore
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{OB}$$
soit
$$\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{AC}=-4\overrightarrow{AB}.$$
Mais on a aussi
$$-k\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec 0.$$
Multiplions cette dernière équation par $k$ et ajoutons la à la précédente. Il vient :
$$(1-k^2)\overrightarrow{OA}=-4\overrightarrow{AB}.$$
Mais de l'équation $\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$, on peut aussi tirer
$$(1-k)\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{AB}.$$
Ceci entraîne que $4(1-k)=(1-k^2)=(1-k)(1+k).$
Puisque $k\neq 1$ (il faut quand même supposer que $A\neq B$), on a $1+k=4$ soit $k=3$. Et on a $\overrightarrow{OA}=\frac 12\overrightarrow{AB}$.
Réciproquement, en définissant $O$ de la façon suivante, on vérifie que l'homothétie de centre $O$ et de rapport 3 transforme $A$ en $B$ et $B$ en $C$.