Exercices corrigés - Géométrie de l'espace
Repérage dans l'espace
Enoncé
L'espace $\mathbb R^3$ est muni de son repère euclidien canonique $\mathcal R=(O,I,J,K)$. On considère le nouveau repère $\mathcal R′ = (O′,I',J',K')$ où les coordonnées des points dans $\mathcal R$ sont $O'= (0, 0, 1),$ $I′ = (0, 0, 0),$ $J′ = (1, 0, 2),$ $K′ = (0, 1, 1).$
- Soit un point de coordonnées $X = (x, y, z)$ dans le repère $\mathcal R$. Donner ses coordonnées $X'=(x',y',z')$ dans le repère $\mathcal R′$.
- Donner la formule de changement de repère de $\mathcal R$ à $\mathcal R′$ sous la forme $$\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=M \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} u\\v\\w\end{pmatrix}. $$ où $M$ est une matrice $3\times 3$. Puis écrire sous la même forme la formule de changement de repère inverse, de $\mathcal R'$ à $\mathcal R$.
- On considère $A=(0,0,3)$, $B=(1,0,4)$ et $C=(1,1,1)$ trois points dont les coordonnées sont exprimées dans $\mathcal R$. Donner une équation du plan $ABC$ dans le repère $\mathcal R$, puis dans le repère $\mathcal R'.$
Enoncé
On considère trois repères $\mathcal R,$ $\mathcal R'$ et $\mathcal R''$ de l'espace, $X,$ $X'$ et $X''$ les trois coordonnées respectives d'un même point $M$ dans les repères $\mathcal R,$ $\mathcal R'$ et $\mathcal R''$.
- Démontrer que l'on a $$X'=M_{\mathcal R'}^{\mathcal R}X+V_{\mathcal R'}^{\mathcal R}$$ où $M_{\mathcal R'}^{\mathcal R}\in GL_3(\mathbb R)$ et $V_{\mathcal R'}^{\mathcal R}\in\mathbb R^3$.
- Quelle formule relie les couples $(M_{\mathcal R'}^{\mathcal R},V_{\mathcal R'}^{\mathcal R}),$ $(M_{\mathcal R''}^{\mathcal R'},V_{\mathcal R''}^{\mathcal R'})$ et $(M_{\mathcal R''}^{\mathcal R},V_{\mathcal R''}^{\mathcal R})$?
Exercice 3 - D'un système de coordonnées à l'autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les coordonnées cylindriques puis sphériques du point $M(2,2\sqrt 3,4)$.
Enoncé
La terre étant assimilée à une sphère de rayon $R$, calculer la distance "à vol d'oiseau"
entre le point $A$ de longitude $\theta_1$ et de latitude $\phi_1$ et le point $B$ de longitude
$\theta_2$ et de latitude $\phi_2$. On rappelle que cette distance est donnée par la longueur de l'arc de cercle intersection
de la sphère et du plan $OAB$.
Application numérique : Calculer la distance entre Paris (48deg 49min N, 2 deg 19 min E) et Buenos Aires (34 deg 40 min S, 58 deg 30 min O). On prendra $R=6378$.
Application numérique : Calculer la distance entre Paris (48deg 49min N, 2 deg 19 min E) et Buenos Aires (34 deg 40 min S, 58 deg 30 min O). On prendra $R=6378$.
Equations de droites et plans
Exercice 5 - Équation d'un plan donné par deux vecteurs directeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, donner une équation cartésienne du plan $\mathcal P$
passant par le point $A(1,0,1)$ et dirigé par les vecteurs $\vec u(1,1,0)$ et $\vec v=(0,1,1)$.
Enoncé
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
- Donner une équation cartésienne du plan de représentation paramétrique $$\begin{cases} x=&1+t+2u\\ y=&2+t+u\\ z=&3u \end{cases}\quad, (t,u)\in\mathbb R^2$$
- Donner une représentation paramétrique du plan d'équation $x+2y-z-3=0$.
- Donner un système d'équations définissant la droite dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=&4t+5\\ y=&3t+1\\ z=&t+3 \end{cases}\quad,t\in\mathbb R.$$
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite donnée par le système d'équations : $$\begin{cases} x+y-3z+1&=0\\ 2x+y-5z&=0. \end{cases}$$
Exercice 7 - Équation d'un plan passant par trois points [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit l'espace d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
Parmi les équations cartésiennes ou représentations paramétriques suivantes quelles sont celles qui correspondent à l'unique plan $\mathcal{P}$ passant les trois points $A(1,1,0)$, $B(-1,0,4)$ et $C(2,2,-1)$ ?
- $3x-2y+z-1=0$;
- $2x+z-2=0$;
- $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 1 - s +3t \\ y & = & 1 + 2t \\ z & = & 3s - 5t \end{array}\right.,\quad s,t\in\mathbb{R}$
- $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 1 - s \\ y & = & -1 + 2t \\ z & = & 2s \end{array}\right.,\quad s,t\in\mathbb{R}$.
Exercice 8 - Point d'intersection de deux droites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'espace est muni d'un repère $(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les deux droites $d$ et $d'$ de représentation paramétrique respective
$$\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&3+2t\\
y&=&-1-t\\
z&=&4+3t
\end{array}\right.\quad,t\in\mathbb R\quad\quad\quad
\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&1-3t\\
y&=&1+t\\
z&=&2-5t
\end{array}\right.\quad,t\in\mathbb R.
$$
Démontrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes en un point $A$ dont on déterminera les coordonnées.
Enoncé
L'espace est muni d'un repère $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$. On considère les deux droites $d$ et $d'$ de représentation paramétrique respective
$$\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&-2+t\\
y&=&2-t\\
z&=&1+4t
\end{array}\right.\quad,t\in\mathbb R\quad\quad\quad
\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&3+t\\
y&=&-2+3t\\
z&=&1+t
\end{array}\right.,\quad,t\in\mathbb R.
$$
Démontrer que les droites $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.
Enoncé
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les plans $P$ d'équation $x+2y-5=0$ et $P'$ d'équation $x+y+z-3=0$.
- Vérifier que $P$ et $P'$ ne sont pas parallèles, puis donner une représentation paramétrique de la droite $d$ intersection de $P$ et $P'$.
- Donner une équation du plan $P''$ perpendiculaire à $d$ et passant par le point $A$ de coordonnées $(1,0,-1)$.
- Montrer sans aucun calcul que les trois plans $P,P',P''$ sont concourants.
- Préciser les coordonnées du point $B$ commun à $P,P'$ et $P''$.
Enoncé
On donne deux droites $d$ et $d'$ de l'espace par des systèmes d'équations paramétriques dans un repère orthonormé :
$$d:(x=t+1,y=2t+1,z=-t-3)\textrm{ et }d':(x=2t,y=t-4,z=3t+2).$$
- Est-ce que $d$ et $d'$ sont parallèles?
- Déterminer les équations du plan $P$ contenant $d$ et parallèle à $d'$, et du plan $P'$ contenant $d'$ et parallèle à $d$. En déduire que $d$ et $d'$ ne sont pas concourantes.
- Déterminer une équation du plan $P''$ passant par l'origine et orthogonal à $d$, puis en déduire les coordonnées du point $M$ intersection de $P''$ et de $d$.
- Montrer sans calculs que $P''$ et $P'$ ont une intersection non-vide.
Enoncé
Déterminer les droites de l'espace passant par $A(1,2,3)$ et coupant les droites
$$\Delta_1\ :\ x+y+z-2=x-y-z+3=0$$
$$\Delta_2\ :\ 2(x-1)=z-3=4(y-1).$$
Exercice 13 - Droites définies par des contraintes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver les droites passant par le point $A=(2,3,1)$, parallèles au plan $P:2x-5y+4z-1=0$
et sécantes à la droite $D:2x-y+1=z=0$.
Enoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les trois points $A(-1,1,2)$, $B(0,0,1)$ et $C(0,-1,-2)$.
- Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
- Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
- Soit $M$ le point de coordonnées $(8,10,5)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $M$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
- Déterminer les coordonnées du point $H$, point d'intersection de $d$ et de $(ABC)$.
Enoncé
Déterminer le projeté orthogonal $H$ du point $M(u,v,w)$ sur le plan $\mathcal P$
déterminé par les trois points $A(1,2,3)$, $B(0,1,5)$ et $C(2,3,4)$.
Enoncé
Déterminer la perpendiculaire commune à $(D1)$ et $(D2)$, puis la distance de $(D1)$ à $(D2)$ lorsque
- $(D1)$ est la droite donnée par la représentation paramétrique $(x=3+2t,y=1+t,z=2-t)$ et $(D2)$ est la droite donnée par le système d'équations cartésiennes $(3x+2y+4z+8=0,\ x+y+z=0)$.
- $(D1)$ est la droite d'équation $(x+z=2,\ y=-1)$ et $(D2)$ est la droite d'équation $(y-z+1=0,\ x+y=0)$.
Enoncé
Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ les droites d'équation respectives :
$$(D_1):\ \begin{cases}
x+y&=2\\
y-2z&=3\\
\end{cases}\quad\quad\quad
(D_2):\ \begin{cases}
x+y+z&=1\\
x-2y+3z&=a\\
\end{cases}
$$
- $(D_1)$ et $(D_2)$ sont-elles parallèles?
- Déterminer $a$ pour qu'elles soient coplanaires. Donner alors les coordonnées du point d'intersection de $(D_1)$ et $(D_2)$ et une équation du plan contenant $(D_1)$ et $(D_2)$.
Enoncé
Dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, on considère les droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ d'équations paramétriques respectives
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&2+t\\
y&=&3-2t\\
z&=&5-t
\end{array}\right.\quad t\in\mathbb R\quad\textrm{ et }\quad
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&4-3t'\\
y&=&5-8t'\\
z&=&7-t'
\end{array}\right.
\quad t'\in\mathbb R.$$
- Les droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ sont-elles coplanaires?
- Vérifier que le point $A(2,3,5)$ est un point de $\mathcal D$. Soit $M'$ un point quelconque de $\mathcal D'$. Quel est le lieu du point $I$, milieu de $[AM']$, lorsque $M'$ décrit la droite $\mathcal D'$.
- On considère un point $M$ de $\mathcal D$ et un point $M'$ de $\mathcal D'$. Quel est le lieu du milieu du segment $[MM']$ lorsque $M$ et $M'$ décrivent respectivement les droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$.
Enoncé
Soit $(D)$ et $(D')$ deux droites de l'espace non-parallèles. Déterminer l'ensemble des milieux des segments $[MN]$,
où $M$ décrit $(D)$ et $N$ décrit $(D')$.
Enoncé
Soient $A$, $B$, $C$ trois points non alignés de l'espace et $O$ un point n'appartenant pas au plan $ABC$.
Soient $A'$, $B'$ et $C'$ les symétriques de $O$ par rapport aux milieux de $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. Démontrer que
les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont concourantes.
Enoncé
On considère un tétraèdre $ABCD$ et les points $S,T,U$ et $V$ définis par
$$\begin{array}{lll}
\overrightarrow{AS}=\frac 12\overrightarrow{AB}&\quad&\overrightarrow{DT}=\frac 12\overrightarrow{DC}\\
\overrightarrow{AU}=\frac 13\overrightarrow{AD}&\quad&\overrightarrow{BV}=\frac 13\overrightarrow{BC}
\end{array}$$
Démontrer que les points $S,T,U$ et $V$ sont coplanaires.
Géométrie non repérée
Enoncé
Démontrer qu'une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Enoncé
On dit qu'un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes (on rappelle que la hauteur issue de $A$ d'un tétraèdre $ABCD$ est la droite perpendiculaire au plan $(BCD)$ passant par $A$). On se fixe un tétraèdre $MNPQ$ et on suppose que les hauteurs issues des sommets $M$ et $N$ sont sécantes en un point $K$. Les droites $(MK)$ et $(NK)$ sont donc orthogonales aux plans $(NPQ)$ et $(MPQ)$ respectivement.
- Justifier que la droite $(PQ)$ est orthogonale à la droite $(MK)$. On admet de même que la droite $(PQ)$ et la droite $(NK)$ sont orthogonales.
- Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite $(PQ)$ et au plan $(MNK)$? Justifier la réponse.
- Montrer que les arêtes $[MN]$ et $[PQ]$ sont orthogonales.
Ainsi, on a démontré la propriété suivante : si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux (on dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont "opposées" lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun). - Dans un repère orthonormé, on considère les points $R(-3,5,2)$, $S(1,4,-2)$, $T(4,-1,5)$ et $U(4,7,3)$. Le tétraèdre $RSTU$ est-il orthocentrique?
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer le théorème du toit : si $P_1$ et $P_2$ sont deux plans sécants contenant respectivement deux droites parallèles $d_1$ et $d_2$, alors la droite $d$ intersection de $P_1$ et $P_2$ est parallèle à $d_1$ et à $d_2$.
Pour cela, on note $P_3$ le plan contenant $d_1$ et $d_2$ et on suppose que $d_1$ et $d$ ne sont pas parallèles.
- Justifier que $d$ et $d_1$ se coupent en un point $A$.
- Démontrer que $A\in P_2$ et $A\in P_3$.
- Conclure.
Produit vectoriel, déterminant, produit mixte
Exercice 25 - Fabrication d'une base orthonormale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une base orthonormale directe de l'espace dont le premier vecteur est colinéaire au vecteur $(1,2,2)$.
Enoncé
Pour quelles valeurs de $a$ les vecteurs $(1,0,a)$, $(a,1,0)$ et $(0,a,1)$ sont-ils coplanaires?
Enoncé
Soient $\vec u,\vec v$ et $\vec w$ trois vecteurs de l'espace et soit $a\in\mathbb R$.
On considère l'équation vectorielle d'inconnue $\vec x$ $\quad\vec u\wedge\vec x=\vec v$.
- Montrer que si l'équation admet une solution, alors $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.
On supposera dans la suite que $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux. - Déterminer toutes les solutions colinéaires à $\vec u\wedge\vec v$.
- En déduire toutes les solutions de l'équation.
- Déterminer les vecteurs solutions qui vérifient en outre $\vec x\cdot\vec w=a$.
Enoncé
Soient $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ quatre vecteurs de l'espace.
Prouver successivement les formules suivantes :
- $(\vec a\wedge\vec b)\wedge\vec c+(\vec b\wedge \vec c)\wedge\vec a+(\vec c\wedge\vec a)\wedge\vec b=\vec 0$;
- $(\vec a\wedge\vec b)\wedge(\vec c\wedge\vec d)=\left[\vec a,\vec c,\vec d\right]\vec b-\left[\vec b,\vec c,\vec d\right]\vec a$;
- $\left[\vec a\wedge \vec b,\vec b\wedge \vec c,\vec c\wedge\vec a\right]=\left[\vec a,\vec b,\vec c\right]^2$.
Angles et distances
Exercice 29 - Distance à un plan et à une droite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer la distance
- du point $M(1,1,1)$ au plan $\mathcal P$ paramétré par : $$\begin{cases} x=&1+2t+t'\\ y=&t+t'\\ z=&2+t+t'. \end{cases}$$
- du point $M(0,2,4)$ à la droite $(D)$ d'équation : $$\begin{cases} x+y-3z+1&=0\\ 2x+y-5z&=0. \end{cases}$$
Enoncé
Soit $ABCDEFGH$ un cube.
- Montrer que $ACFH$ est un tétraèdre régulier.
- Calculer l'angle entre deux faces d'un tétraèdre régulier.
- Dans une molécule de méthane $CH_4$, calculer l'angle $HCH$, où $C$ est l'atome de carbone et les deux $H$ sont deux atomes d'hydrogène différents.
Enoncé
Déterminer les droites $(D)$ de l'espace faisant un angle de $60$ deg avec $(Ox)$ et $45$ deg avec $(Oy)$.
Sphères et cercles
Enoncé
A tout réel $t$, on associe le point $M(t)$ de coordonnées
$x(t)=\cos t+\sqrt 3\sin t+1$, $y(t)=\cos t-\sqrt 3\sin t+1$ et $z(t)=-2\cos t+1$.
- Calculer $x(t)+y(t)+z(t)$.
- Calculer $x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)$.
- En déduire que $M(t)$ est toujours élément d'un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Enoncé
Déterminer l'équation de la sphère contenant les cercles d'équations
$\begin{cases} x^2+y^2 = 9\\ z=0\end{cases}$ et
$\begin{cases} x^2+y^2 = 25\\ z=2.\end{cases}$
Enoncé
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts de l'espace.
Déterminer les points $M$ de l'espace pour lesquels $\overrightarrow{MA}\wedge(\overrightarrow{MB}\wedge\overrightarrow{MC})=\vec 0$.
Exercice 35 - Sphère circonscrite et cercle circonscrit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b,c$ trois réels non nuls, et soient $A(a,0,0)$, $B(0,b,0)$ et $C(0,0,c)$.
- Donner l'équation de la sphère $\mathcal S$ passant par $O$, $A$, $B$ et $C$.
- Donner l'équation du plan $\mathcal P$ passant par $A$, $B$ et $C$.
- En déduire le rayon du cercle $\mathcal C$ passant les points $A$, $B$ et $C$.
Exercice 36 - Plus courte distance sur la sphère [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathcal S$ une sphère de centre $O$ et de rayon $R>0$. Soient également deux points $A$ et $B$ de
$\mathcal S$. On cherche à déterminer, parmi les arcs de cercle tracés sur la sphère et joignant $A$ et $B$, celui qui est le plus court.
Soit $\mathcal C$ un tel arc de cercle, intersection du plan $\mathcal P$ et de $\mathcal S$. On note $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur
$\mathcal P$, $r$ le rayon de l'arc de cercle, $a=AB$, et $\theta$ l'angle $(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB})\in[0,\pi]$.
- Démontrer que $\sin(\theta/2)=a/2r$.
- En déduire que la longueur de $\mathcal C$ est $\frac{a\theta}{2\sin(\theta/2)}$.
- Démontrer que $\theta\geq 2\arcsin(a/2R)$.
- Conclure.