Exercices corrigés - Géométrie du plan affine et euclidien
Droites
Exercice 1 - Différents types d'équation de droite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Donner une équation cartésienne de la droite $$\begin{cases} x=3+2t\\ y=1-t. \end{cases}$$
- Donner une représentation paramétrique de la droite d'équation $2x-3y=4$.
- Donner une équation polaire de la droite précédente.
- Quel est l'angle entre l'axe des abscisses et la droite d'équation polaire $r=\frac{2}{\sqrt 3\cos\theta+\sin\theta}$?
Exercice 2 - Projeté orthogonal d'un point sur une droite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le plan étant muni d'un repère orthonormal, on considère les points $A(-1,1)$,
$B(3,-1)$ et $C(1,4)$. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $C$ sur
la droite $(AB)$.
Enoncé
Soit $D$ la droite d'équation $3x-2y+5=0$. Déterminer une équation des droites qui passent
par le point $A(1,2)$ et qui font un angle de $\pi/6$ avec $D$.
Exercice 4 - Famille de droites tangentes à un cercle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que les droites $D_\lambda$ d'équation cartésienne
$$D_\lambda: (1-\lambda^2)x+2\lambda y=4\lambda+2,$$
où $\lambda$ désigne un paramètre réel, sont toutes tangentes à un cercle fixe à préciser.
Enoncé
On fixe trois points $O,A,B$ non alignés. À tout point $M$ du plan distinct de $O$, $A$ et $B$,
on associe les points $P\in(OA)$ et $Q\in(OB)$ tels que $OPMQ$ est un parallélogramme. On suppose que les droites
$(AQ)$ et $(BP)$ sont sécantes en $M'$. Montrer que $(MM')$ passe par un point fixe que l'on précisera.
Enoncé
Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé. Soit $M_0(x_0,y_0)$
un point du plan et $\Delta$ la droite d'équation $\frac xa+\frac yb-1=0$.
- Déterminer les coordonnées du symétrique de $M$ par rapport à $\Delta$.
- Donner le lieu des points $M_0$ tels que les trois symétriques de $M_0$ par rapport aux deux axes de coordonnées et à $\Delta$ soit alignés.
Cercles
Enoncé
Soit $A(0,0)$, $B(2,1)$ et $C(2,3)$.
- Déterminer une équation du cercle de diamètre $[AB]$.
- Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Enoncé
Soit $\mathcal C$ le cercle de centre $I(a,b)$ et de rayon $R$. Donner une condition nécessaire
et suffisante sur $(u,v,w)\in\mathbb R^3$ pour que la droite d'équation $ux+vy+w=0$ soit tangente à $\mathcal C$.
Enoncé
Déterminer l'ensemble des centres des cercles qui passent par le point $A(1,0)$ et qui possèdent deux tangentes
perpendiculaires qui se coupent en $O$
Triangles
Enoncé
Soit $A(-1,1)$, $B(3,-1)$ et $C(1,4)$. Déterminer une équation cartésienne de chacune des hauteurs
du triangle. Vérifier qu'elles sont concourantes et déterminer l'orthocentre du triangle.
Enoncé
Montrer que, dans tout triangle, les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés appartiennent au cercle circonscrit
au triangle.
Exercice 12 - Distance d'un point aux côtés dans un triangle équilatéral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $ABC$ un triangle équilatéral et $M$ un point situé à "l'intérieur" de ce triangle.
Montrer que la somme des distances de $M$ aux trois côtés du triangle est indépendante de $M$.