$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Géométrie du plan affine et euclidien

Droites
Exercice 1 - Différents types d'équation de droite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Donner une équation cartésienne de la droite $$\begin{cases} x=3+2t\\ y=1-t. \end{cases}$$
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite d'équation $2x-3y=4$.
  3. Donner une équation polaire de la droite précédente.
  4. Quel est l'angle entre l'axe des abscisses et la droite d'équation polaire $r=\frac{2}{\sqrt 3\cos\theta+\sin\theta}$?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Projeté orthogonal d'un point sur une droite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le plan étant muni d'un repère orthonormal, on considère les points $A(-1,1)$, $B(3,-1)$ et $C(1,4)$. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $D$ la droite d'équation $3x-2y+5=0$. Déterminer une équation des droites qui passent par le point $A(1,2)$ et qui font un angle de $\pi/6$ avec $D$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Famille de droites tangentes à un cercle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que les droites $D_\lambda$ d'équation cartésienne $$D_\lambda: (1-\lambda^2)x+2\lambda y=4\lambda+2,$$ où $\lambda$ désigne un paramètre réel, sont toutes tangentes à un cercle fixe à préciser.
Indication
Corrigé
Enoncé
On fixe trois points $O,A,B$ non alignés. À tout point $M$ du plan distinct de $O$, $A$ et $B$, on associe les points $P\in(OA)$ et $Q\in(OB)$ tels que $OPMQ$ est un parallélogramme. On suppose que les droites $(AQ)$ et $(BP)$ sont sécantes en $M'$. Montrer que $(MM')$ passe par un point fixe que l'on précisera.
Indication
Corrigé
[exo)2380]
Exercice 6 - Alignement de trois symétriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé. Soit $M_0(x_0,y_0)$ un point du plan et $\Delta$ la droite d'équation $\frac xa+\frac yb-1=0$.
  1. Déterminer les coordonnées du symétrique de $M$ par rapport à $\Delta$.
  2. Donner le lieu des points $M_0$ tels que les trois symétriques de $M_0$ par rapport aux deux axes de coordonnées et à $\Delta$ soit alignés.
Indication
Corrigé
Cercles
Exercice 7 - Cercles sous contraintes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A(0,0)$, $B(2,1)$ et $C(2,3)$.
  1. Déterminer une équation du cercle de diamètre $[AB]$.
  2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Equation de la tangente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathcal C$ le cercle de centre $I(a,b)$ et de rayon $R$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(u,v,w)\in\mathbb R^3$ pour que la droite d'équation $ux+vy+w=0$ soit tangente à $\mathcal C$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Lieu des centres des cercles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer l'ensemble des centres des cercles qui passent par le point $A(1,0)$ et qui possèdent deux tangentes perpendiculaires qui se coupent en $O$
Indication
Corrigé
Triangles
Enoncé
Soit $A(-1,1)$, $B(3,-1)$ et $C(1,4)$. Déterminer une équation cartésienne de chacune des hauteurs du triangle. Vérifier qu'elles sont concourantes et déterminer l'orthocentre du triangle.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Symétriques de l'orthocentre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que, dans tout triangle, les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés appartiennent au cercle circonscrit au triangle.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Distance d'un point aux côtés dans un triangle équilatéral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $ABC$ un triangle équilatéral et $M$ un point situé à "l'intérieur" de ce triangle. Montrer que la somme des distances de $M$ aux trois côtés du triangle est indépendante de $M$.
Indication
Corrigé