Exercices corrigés -Suites, séries, intégrales et produits infinis de fonctions holomorphes et méromorphes

Exercice 1

- Une suite de fonctions holomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Démontrer que la formule $F(z)=\sum_{n\geq 1}\frac{2^n}{z^n+1}$ définit une fonction holomorphe dans $\mathbb C\backslash \overline{D}(0,2)$. Calculer $F'(z)$ pour tout $z\in \mathbb C\backslash \overline{D}(0,2)$.

Indication

Corrigé

Exercice 2

- Fonction Zeta [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Montrer que la formule suivant définit une fonction holomorphe dans un domaine à préciser : $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}.$$

Indication

Corrigé

Exercice 3

- Une série de fonctions méromorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Démontrer que la formule $f(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{z^2-n^2}$ définit une fonction méromorphe sur $\mathbb C$. On précisera les pôles de $f$ ainsi que leur multiplicité.

Indication

Corrigé

Exercice 4

- Suites de fonctions holomorphes ne s'annulant pas [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb C$ et soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes dans $\Omega$ qui converge uniformément sur les compacts de $\Omega$ vers $f$, qui est donc holomorphe. On suppose que les $(f_n)$ ne s'annulent pas sur $\Omega$ et on veut prouver que ou bien $f$ ne s'annule pas, ou bien $f$ est identiquement nulle. On suppose $f$ non-identiquement nulle et on fixe $a\in\Omega$.

Justifier l'existence d'un réel $r>0$ tel que $\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ et $f$ ne s'annule pas sur le bord du disque $D(a,r)$ (on pourra utiliser le principe des zéros isolés).
Justifier l'existence de $\veps>0$ tel que, pour tout $z\in\partial D(a,r)$, $|f(z)|\geq\varepsilon.$
Justifier l'existence de $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq N$ et tout $z\in\partial D(a,r)$, $|f_n(z)|\geq \varepsilon/2$.
En déduire que $|f_n(a)|\geq\veps/2$.
Conclure.

Indication

Corrigé

Exercice 5

- Convergence uniforme non triviale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Montrer que la série de fonctions méromorphes $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{z-n}$$ converge uniformément sur tout compact de $\mathbb C$.

Indication

Corrigé

Exercice 6

- Un développement en série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Le but de l'exercice est de démontrer la formule suivante : $$\forall z\in\mathbb C\backslash\pi\mathbb Z,\ \sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{(z-n)^2}=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^2.$$

Question préliminaire : montrer que, pour $z=x+iy$, on a $$|\sin z|^2=\sin^2(x)+\textrm{sh}^2y.$$
Montrer que la série $f(z)=\sum_{n\in \mathbb Z}1/(z-n)^2$ converge normalement sur tout compact de $\mathbb C$. En déduire que $f$ définit une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ dont les pôles sont en $\mathbb Z$.
On pose $g(z)=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^2$. Montrer que $f$ et $g$ ont même partie singulière en 0. En déduire que $h=f-g$ se prolonge une fonction entière.
Montrer que $h$ est bornée sur sur l'ensemble $\{0\leq\Re e(z)\leq 1;\ |\Im m(z)|>1\}$. En déduire que $h$ est constante, puis, en étudiant $\lim_{y\to+\infty}h(iy)$, que $h=0$.
Montrer que $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$

Indication

Corrigé

On écrit $$\sin(z)=\sin(x+iy)=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy),$$ puis on remarque que $$\cos(iy)=\textrm{ch}(y)\textrm{ et }\sin(iy)=i\textrm{sh}(y).$$ Le résultat suit immédiatement.
Soit $K$ un compact de $\mathbb C$. Il existe $a,b\in\mathbb R$ tels que $a\leq \Re e(z)\leq b$ pour tout $z\in K$. Pour $n>b$, on a $$\frac{1}{|z-n|^2}\leq \frac{1}{(n-b)^2},$$ et le membre de gauche est le terme général d'une série convergente. D'autre part, pour $n<a$, on a $$\frac{1}{|z-n|^2}\leq\frac{1}{(a-n)^2},$$ et le membre de droite est le terme général d'une série convergente. Ainsi, on a une série de fonctions méromorphes qui converge normalement, donc uniformément, sur les compacts, vers une fonction $f$ qui est par conséquent elle aussi méromorphe. Les singularités de $f$ sont en les entiers, et $f$ est de plus $1$-périodique.
Écrivons $f(z)=\frac{1}{z^2}+u(z)$, où $u(z)=\sum_{n\neq 0}\frac{1}{(z-n)^2}$. La série définissant $u$ est une série de fonctions holomorphes au voisinage de 0 qui converge uniformément dans un voisinage de 0. $u$ est donc holomorphe, et $f$ s'écrit donc comme somme de $1/z^2$ et d'une fonction holomorphe en 0. On en déduit que la partie singulière de $f$ en 0 est $1/z^2$.
Pour $g$, on va effectuer un développement limité. En effet, $$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)}=\frac{1}{z^2}\times\frac{1}{1+O(|z|^2)}=\frac{1}{z^2}+O(1).$$ Ainsi, $f$ et $g$ ont même partie singulière en 0. Ceci signifie qu'en 0, on a $f-g=O(1)$. Ainsi, $h=f-g$ est une fonction holomorphe au voisinage de 0, sauf en 0, mais qui est bornée au voisinage de 0. 0 est donc une fausse singularité et $h$ se prolonge en une fonction holomorphe en 0. Par 1-périodicité de $h$, toutes les singularités de $h$ sont effaçables, et $h$ se prolonge en une fonction entière.
Soit $x\in[0,1]$ et $|y|>1$. On a $$|\sin(\pi z)|\geq |\textrm{sh}(\pi y)|\geq \textrm{sh}(\pi)$$ car $|\sin(\pi z)|^2=\sin^2(\pi x)+\textrm{sh}^2(\pi y)$. De plus, $$|f(z)|\leq \sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{1+(x-n)^2}\leq \sum_{n\leq 0}\frac{1}{1+n^2}+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{1+(n-1)^2}$$ ce qui prouve que $g,f$ et donc $h$ sont bornés dans le domaine considéré.
De plus, $h$ est bornée, car continue, sur le compact $\{0\leq \Re e(z)\leq 1,\ |\Im m(z)|\leq 1\}$. Par conséquent, $h$ est bornée sur la bande $\{0\leq \Re e(z)\leq 1\}$, puis par périodicité sur $\mathbb C$ tout entier. Par le théorème de Liouville, $h$ est constante.
Enfin, on va prouver que $\lim_{y\to+\infty}h(iy)=0$, ce qui prouvera que $h=0$. En effet, on a $$|\sin(\pi iy)|\geq |\textrm{sh}(\pi y)|\to+\infty$$ ce qui prouve $\lim_{y\to+\infty}g(iy)=0$. Pour $f$, on écrit $$|f(iy)|\leq \sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{y^2+n^2}.$$ Pour prouver que ceci tend vers 0 lorsque $y$ tend vers $+\infty$, on peut
- Montrer que la série $\sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{y^2+n^2}$ converge uniformément, car normalement (on peut majorer $(y^2+n^2)^{-1}$ par $(1+n^2)^{-1}$) sur $[1,+\infty[$ et utiliser le théorème d'interversion des limites;
- Utiliser le théorème de convergence dominée pour la mesure discrète sur $\mathbb Z$ en majorant $(y^2+n^2)^{-1}$ par $(1+n^2)^{-1}$.
Dans tous les cas, on prouve que $f(iy)$ tend vers 0 lorsque $y$ tend vers $+\infty$. C'est aussi le cas pour $h$ et donc $h=0$.
Reprenons les notations des questions précédentes. Puisque $h(0)=0$, c'est que $$f(z)=\frac{1}{z^2}+a+o(1)\quad\textrm{et}\quad g(z)=\frac{1}{z^2}+a+o(1)$$ avec la même constante $a$. Or, pour $f$, cette constante $a$ vaut $u(0)$, donc $2\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-2}$. Pour $g$, il faut pousser le développement limité un cran plus loin, et on trouve $\frac{\pi^2}{3}$. Ceci donne le résultat.

Exercice 7

- Développement en série de $\textrm{cotan}$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $z\in\mathbb C,$ on rappelle que $$\begin{array}{lll} \displaystyle\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2&\quad\quad&\displaystyle\mathrm{ch}(z)=\cos(iz)=\frac{e^z+e^{-z}}2\\ \displaystyle\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}&&\displaystyle\mathrm{sh}(z)=-i\sin(iz)=\frac{e^z-e^{-z}}{2}. \end{array}$$ On rappelle que $\sin(z)=0\iff z\in\pi\mathbb Z$ et que chaque élément de $\pi\mathbb Z$ est un zéro de multiplicité $1$ de $\sin.$ On rappelle également les formules de trigonométrie suivantes : pour tout $z\in\mathbb C,$ $$\cos(2z)=1-2\sin^2(z)\textrm{ et }\mathrm{ch}(2z)=1+2\mathrm{sh}^2(z).$$ Si $z\in\mathbb C\backslash\pi\mathbb Z,$ on pose $$\mathrm{cotan}(z)=\frac{\cos(z)}{\sin(z)}.$$ Le but de l'exercice est de démontrer la formule : $$\forall z\in \mathbb C\backslash\mathbb Z, \ \pi\mathrm{cotan}(\pi z)=\frac 1z+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}.$$

Démontrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}$ définit une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ dont on précisera les pôles. On pourra poser $u_n(z)=\frac{2z}{z^2-n^2}.$
Pour la suite de l'exercice, on fixe $w\in\mathbb C\backslash \mathbb Z$ et on pose $$f(z)=\frac{\mathrm{cotan}(\pi z)}{z^2-w^2}.$$ Soit $n\in\mathbb N$ avec $n>|w|$ et on considère le carré de sommet les points $\displaystyle \pm\left(n+\frac 12\right)\pm i\left(n+\frac 12\right).$ On note $\gamma_n$ le bord de ce carré, orienté positivement.
Dessiner $\mathcal R_n$.
Démontrer que la fonction $f$ possède $2n+3$ pôles dans $\mathcal R_n$. Calculer le résidu de $f$ en chacun de ces pôles.
En déduire que $$\frac 1{2i\pi}\int_{\gamma_n}f(z)dz=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{w}-\frac{1}{\pi w^2}-\sum_{k=1}^n \frac{2}{\pi(w^2-k^2)}.$$
Soit $z=x+iy\in\mathbb C.$ Démontrer que $$|\sin(z)|^2=\sin^2(x)+\textrm{sh}^2(y).$$
Démontrer que pour tout $z\in\mathbb C\backslash\pi\mathbb Z,$ $$(\mathrm{cotan}(z))^2=\frac1{\sin^2(z)}-1.$$
En déduire qu'il existe $C>0$ telle que, pour tout $n>|w|,$ pour tout $z\in\gamma_n,$ $|\mathrm{cotan}(\pi z)|\leq C.$
Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\int_{\gamma_n}f(z)dz=0.$
Conclure que $$\pi\mathrm{cotan}(\pi w)=\frac 1w+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2w}{w^2-n^2}.$$

Indication

Corrigé

Soit $K$ un compact de $\mathbb C.$ Alors il existe $M>0$ tel que $K$ est contenu dans le disque $D(0,M)$. Soit $n>M+1$. Alors, $u_n$ n'a pas de pôles dans $K$. De plus, la série $\sum_{n\geq M}u_n$ converge normalement, donc uniformément dans $K$. En effet, si $z\in K$, $n>M,$ alors $|z-n|\geq n-|z|>n-M>0$ et donc $$|u_n(z)|\leq \frac{2M}{(n-M)^2}$$ et le membre de droite est le terme général d'une série numérique convergente. Ainsi, la série définit bien une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ dont les pôles sont les entiers naturels strictement positifs.
Ok!
On commence par remarquer que $f$ possède un pôle simple en $w$ et un pôle simple en $-w$. Le résidu en ces pôle simples vaut $$\textrm{Res}(f,w)=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{2w}\textrm{ et }\mathrm{Res}(f,-w)=\frac{\mathrm{cotan}(-\pi w)}{-2w}=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{2w}.$$ La fonction $f$ possède aussi un pôle en tous les points où le sinus s'annule et qui sont contenus dans $\mathcal R_n$. Ces points sont les entiers $k,$ avec $-n\leq k\leq n$. Il y a $2n+1$ tels pôles. De plus, écrivant $$f(z)=\frac{\cos(\pi z)/(z^2-w^2)}{\sin(\pi z)},$$ on trouve que $$\mathrm{Res}(f,k)=\frac{\cos(k\pi)/(k^2-w^2)}{\pi \cos(k\pi)}=\frac{1}{\pi(k^2-w^2)}.$$
Par le théorème des résidus, on trouve \begin{align*} \frac 1{2i\pi}\int_{\gamma_n}f(z)dz&=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{2w}+\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{2w}-\frac{1}{\pi w^2}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi(k^2-w^2)}\\ &\quad\quad\quad +\sum_{k=-1}^{-n}\frac{1}{\pi(k^2-w^2)} \\ &=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{w}-\frac{1}{\pi w^2}+\sum_{k=1}^n \frac{2}{\pi(k^2-w^2)}. \end{align*}
On commence par remarquer que \begin{align*} |\sin( z)|^2&=\frac 14\left|e^{i x- y}-e^{-i x+ y}\right|^2\\ &=\frac 14\left(e^{i x- y}-e^{-i x+ y}\right)\times \left(e^{-i x- y}-e^{i x+ y}\right)\\ &=\frac 14\left(e^{-2 y}+e^{2 y}-e^{2i x}-e^{-2i x}\right)\\ &=\frac12\left(-\cos(2 x)+\mathrm{ch}(2 y)\right). \end{align*} On conclut alors facilement en utilisant les deux formules de trigonométrie rappelées au début de l'énoncé.
On écrit simplement que $$(\mathrm{cotan}(z))^2=\frac{\cos^2(z)}{\sin^2(z)}=\frac{1-\sin^2(z)}{\sin^2(z)}=\frac1{\sin^2(z)}-1.$$
D'après la question précédente, on a $$|\mathrm{cotan}(\pi z)|^2\leq 1+\frac1{|\sin^2(\pi z)|}.$$ Il s'agit donc de minorer le module de $|\sin(z)|$ si $z\in\gamma_n.$ Écrivons $z=x+iy.$ Deux cas sont possibles.
- ou bien $x=\pm\left(n+\frac 12\right).$ Mais dans ce cas, $\sin^2(\pi x)=1$ et donc $|\sin(\pi z)|^2\geq 1$ d'après le résultat de la question 5.
- ou bien $y=\pm\left(n+\frac 12\right).$ Mais dans ce cas, $$|\sin(\pi z)|^2 \geq \left(\mathrm{sh}\left(\left(n+\frac 12\right)\pi\right)\right)^2\geq \mathrm{sh}^2(\pi/2).$$
Posons $c=\min(1,\mathrm{sh}^2(\pi/2))$. Alors pour tout $z\in\gamma_n,$ on a $$\frac1{|\sin^2(\pi z)|}\leq \frac 1c,$$ et le résultat est prouvé avec $C=\sqrt{1+1/c}$.
Pour $z\in\gamma_n,$ on écrit que $$|f(z)|\leq \frac{C}{|z^2-w^2|}$$ où $C$ est la constante de la question précédente. De plus, si $z\in \gamma_n$, alors $$|z|^2 \geq \left(n+\frac 12\right)^2.$$ On a donc $$|z^2-w^2|\geq |z|^2-|w|^2\geq n^2-|w|^2>0.$$ De plus, la longueur de $\gamma_n$ est $$4\times 2\times \left(n+\frac 12\right)=8n+4.$$ On obtient donc $$\left |\int_{\gamma_n}f(z)dz\right|\leq \frac{(8n+4)C}{n^2-|w|^2}.$$ Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n\to+\infty}\int_{\gamma_n}f(z)dz=0.$
Le résultat s'obtient facilement par passage à la limite dans la question 4.

Exercice 8

- Un pas vers Montel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soient $U$ un ouvert de $\mathbb C$ et $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes qui converge simplement sur $U$ vers $f$. On suppose que la suite $(f_n)$ est uniformément bornée, c'est-à-dire qu'il existe une constante $C$ telle que, pour tout $z$ de $U$ et tout $n\geq 0$, on a $|f_n(z)|\leq C$.

Montrer que $f$ est holomorphe.
On fixe $K$ un compact de $U$ et $z_0\in K$, $r>0$ tel que $D(z_0,r)\subset U$. Montrer qu'il existe une constante $M>0$ telle que, pour tout $z\in D(z_0,r/2)$, on a $$|f_n(z)-f_m(z)|\leq M \int_{C(z_0,r)}|f_n(w)-f_m(w)|dw,$$ où $C(z_0,r)$ est le cercle de centre $z_0$ et de rayon $r>0$.
En déduire que, pour tout $\veps>0$, il existe $p:=p(z_0)$ tel que, pour tout $n,m\geq p(z_0)$, on a $$\sup_{z\in D(z_0,r/2)}|f_n(z)-f_m(z)|\leq \veps.$$
Conclure que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $K$.

Indication

Corrigé

Exercice 9

- Espace de Bergman [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $H$ l'ensemble des fonctions holomorphes $f:\Omega\to\mathbb C$ de carré intégrale : $\int_{\Omega}|f(x+iy)|^2dxdy<+\infty$. Pour $f,g\in H$, on pose $$\langle f,g\rangle=\int_\Omega f\overline g\textrm{ et }\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.$$

Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire hermitien sur $H$.
Soit $w\in \Omega$. Prouver que $$|f(w)|\leq \frac{1}{d(w,\partial \Omega)\sqrt \pi}\|f\|.$$
Soit $K$ un compact de $\Omega$. Prouver que $$\sup_{w\in K} |f(w)|\leq \frac{1}{d(K,\partial \Omega)\sqrt \pi}\|f\|.$$
En déduire que $H$ est un espace de Hilbert.

Indication

Corrigé

$H$ est un sous-espace vectoriel de $L^2(\Omega)$, et $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est la restriction du produit scalaire de $L^2(\Omega)$ à $H$.
Soit $r<d(w,\partial \Omega)$. D'après la formule de la moyenne appliquée à $f$ sur $D(w,r)\subset\Omega$, on a $$f(w)=\frac{1}{\pi r^2}\int_{D(w,r)}f(z)dz.$$ En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient \begin{eqnarray*} |f(w)|&\leq&\frac{1}{\pi r^2}\left(\int_{D(w,r)}|f(z)|^2dz\right)^{1/2}\left(\int_{D(w,r)}1dz\right)^{1/2}\\ &\leq&\frac{1}{\pi r^2}\left(\int_{D(w,r)}|f(z)|^2dz\right)^{1/2}\sqrt{\pi}r\\ &\leq&\frac{1}{\sqrt{\pi} r}\|f\|. \end{eqnarray*} On obtient le résultat en faisant tendre $r$ vers $d(w,\partial\Omega)$.
Soit $r=d(K,\partial \Omega)$. Alors, pour tout $w\in K$, on a $d(w,\partial\Omega)\geq d(K,\Omega)$. Le résultat se déduit alors immédiatement de la question précédente.
Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy de $H$ et $K$ un compact de $\Omega$. De la question précédente, on déduit que $$\sup_{w\in K}|f_n(w)-f_m(w)|\leq C\|f_n-f_m\|$$ où $C$ est une constante qui dépend de $K$. Autrement dit, la suite $(f_n)$ est de Cauchy pour la norme uniforme sur $K$. On en déduit que $(f_n)$ converge uniformément sur chaque compact vers une fonction $g_K$ (qui dépend normalement du compact $K$). Soit $(K_p)$ une suite exhaustive de compacts de $\Omega$ et notons $g_p=g_{K_p}$. Puisque la convergence uniforme sur $K_{p+1}$ entraîne la convergence uniforme sur $K_p$, on en déduit que $g_{p+1}=g_p$ sur $K_p$. Ainsi, on peut définir $g$ par $g(z)=g_p(z)$ si $z\in K_p.$ Par le théorème de Weierstrass sur la convergence uniforme des fonctions holomorphes, on en déduit que $g$ définit une fonction holomorphe sur $\Omega$.
De plus, $(f_n)$ est une suite de Cauchy de $L^2(\Omega)$ qui est complet, et elle converge donc dans $L^2(\Omega)$ vers une fonction $h\in L^2(\Omega)$. Mais, sur un compact $K$, on a $$\int_{K}|f_n-f_m|^2\leq M \|f_n-f_m\|_\infty^2$$ où $M=\int_K 1$. Faisant tendre $m$ vers $+\infty$, puis $n$ vers $+\infty$, on trouve que $\lim_{n\to+\infty}\int_K |f_n-g|^2=0$. Puisque $\lim_{n\to+\infty}\int_K |f_n-h|^2=0$, on en déduit que $g=h$ presque partout, et donc que $(f_n)$ converge vers $g$ dans $L^2(\Omega)$. Ainsi, $g\in H$ et $(f_n)$ converge vers $g$ dans $H$ : $H$ est complet et est donc un espace de Hilbert.

Exercice 10

- Une fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Démontrer que la formule $$\phi(z)=\int_0^1 t^z(1-t)^{1-z}dt$$ définit une fonction holomorphe sur $\Omega=\{z\in\mathbb C:\ -1<\Re e(z)<2\}$.

Indication

Corrigé

Exercice 11

- Fonction Gamma [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Montrer que la formule suivante définit une fonction holomorphe dans un domaine à préciser : $$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt.$$

Indication

Corrigé

Exercice 12

- Transformée de Fourier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $f$ une fonction continue à support compact. On pose, pour $z\in\mathbb C$, $F(z)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{zx}dx$. Montrer que $F$ est une fonction entière. Que dire d'une fonction continue à support compact dont la transformée de Fourier est à support compact?

Indication

Corrigé

Exercice 13

- Une famille totale de $L^2(\mathbb R)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On rappelle que dans un espace de Hilbert $H$ une suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ est dite totale si l'espace vectoriel qu'elle engendre est dense dans $H.$ On rappelle également que $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ est totale si et seulement si, pour tout $v\in H$, si $\langle v,u_n\rangle=0$ pour tout $n\in\mathbb N,$ alors $v=0$. Le but de l'exercice est de démontrer que la famille $(x^ne^{-x^2})_{n\in\mathbb N}$ est totale dans $L^2(\mathbb R)$ - par abus de notation, on note $x^ne^{-x^2}$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $x\mapsto x^n e^{-x^2}$.

Soit $n\geq 0$. Justifier que $x^ne^{-x^2}\in L^2(\mathbb R)$.
Soit $h\in L^2(\mathbb R)$. Démontrer que la formule $$F(z)=\int_{\mathbb R}e^{zx}h(x)e^{-x^2}dx$$ définit une fonction entière. Calculer $F^{(n)}(0)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Soit $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=h(x)e^{-x^2}.$ Justifier que $h\in L^1(\mathbb R)$ puis exprimer la transformée de Fourier de $g$ en fonction de $F$.
On suppose désormais que $\langle h,x^ne^{-x^2}\rangle=0$ pour tout $n\in\mathbb N$. Déduire des questions précédentes que $h$ est nulle.

Indication

Corrigé

Exercice 14

- Un produit infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On considère le produit infini $$f(z)=\prod_{n=0}^{+\infty}\left(1+z^{2^n}\right).$$

Prouver que ce produit converge normalement sur tout compact du disque unité $D$.
Montrer que, pour tout $z\in D$, on a $f(z^2)=f(z)/(1+z)$.
En déduire que $f(z)=1/(1-z)$ pour tout $z$ de $D$.

Indication

Corrigé

Exercice 15

- Zéros des fonctions holomorphes bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(a_n)$ une suite de points du disque unité $D$ vérifiant la condition $\sum_{n\geq 1}(1-|a_n|)<+\infty$. Le but de l'exercice est de construire une fonction $f:D\to\mathbb C$ holomorphe, vérifiant $|f(z)|\leq 1$ si $z\in D$, et dont les zéros dans $D$ sont exactement les $(a_n)$. Pour $n\geq 0$ et $z\neq 1/\overline{a_n}$, on pose $$b_n(z)=\frac{|a_n|}{a_n}\times\frac{a_n-z}{1-\overline{a_n}z},$$ avec la convention $\frac{|0|}0=1$.

Vérifier que, si $u$ et $v$ sont deux nombres complexes tels que $\bar uv\neq 1$, alors $$1-\left|\frac{u-v}{1-\bar u v}\right|^2=\frac{(1-|u|^2)(1-|v|^2)}{|1-\bar u v|^2}.$$
En déduire que $|b_n(z)|<1$ si $z\in D$, pour tout $n\geq 0$.
Démontrer que le produit infini $\prod_{n=0}^{+\infty}b_n$ est normalement convergent sur tous les compacts de $D$.
Conclure.

Indication

Corrigé

Exercice 16

- Produit eulérien [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $w\in\mathbb C,$ on pose $F(w)=(1+w)e^{-w}$.

Démontrer qu'il existe une fonction entière $H$ tel que $F(w)=1+w^2 H(w)$.
En déduire que le produit infini $$\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac zn\right) e^{-z/n}$$ définit une fonction entière.

Indication

Corrigé

Exercice 17

- Décomposition de $1/\zeta$ en produit infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Dans cet exercice, on note $\Omega=\{s\in\mathbb C:\ \Re e(s)>1\}$ et $(p_n)_{n\geq 1}$ la suite des nombres premiers rangés par ordre croissant.

Démontrer que la formule $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}$ définit une fonction holomorphe dans $\Omega$.
Démontrer que le produit infini $$F(s)=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac 1{p_n^{s}}\right)$$ converge normalement sur les compacts de $\Omega$.
Pour $N\geq 1,$ on note $F_N$ le produit partiel $$F_N(s)=\prod_{n=1}^{N}\left(1-\frac 1{p_n^{s}}\right).$$ On note également $A_N$ l'ensemble des entiers naturels qui ne sont divisibles par aucun des $p_j,$ $1\leq j\leq N.$ Démontrer par récurrence que pour tout $N\geq 1$ et tout $s\in\Omega,$ $$\zeta(s)F_N(s)=\sum_{k\in A_N}\frac1{k^s}.$$
Démontrer que, pour tout $s\in\Omega,$ $\zeta(s)F(s)=1$ et en déduire que $\zeta$ ne s'annule pas sur $\Omega.$
Question subsidiaire : démontrer que $\lim_{x\to 1^+}\zeta(x)=+\infty.$ En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}\frac 1{p_n}$ est divergente.

Indication

Corrigé

Chaque fonction $s\mapsto n^{-s}$ étant holomorphe sur $\Omega,$ il suffit de prouver la convergence normale sur les parties compactes de $\Omega$. Soit $K$ une telle partie. Alors il existe $\sigma>1$ tel que $\Re e(s)\geq\sigma$ pour tout $s\in K$. On en déduit $$\left|\frac{1}{n^s}\right|\leq \frac 1{n^\sigma}$$ et le membre de droite est le terme général d'une série convergente. Ainsi, la série $\sum_{n\geq 1} n^{-s}$ converge normalement sur tous les compacts de $\Omega$ et définit une fonction holomorphe sur cet ouvert.
Notons $u_n(s)=1-p_n^{-s}$. Il s'agit de démontrer que la série $\sum_n (1-u_n)$ converge normalement sur tous les compacts de $\Omega$. Soit $K$ une telle partie et $\sigma>1$ tel que $\Re e(s)\geq\sigma$ pour tout $s\in K$. On a alors $$|1-u_n(s)|=\left|\frac 1{p_n^s}\right|\leq \frac{1}{p_n^\sigma}\leq \frac 1{n^\sigma}.$$ On conclut comme ci-dessus.
Fixons $s\in \Omega$ et considérons, pour $N\geq 1,$ $\mathcal P_N$ la propriété $$\zeta(s)F_N(s)=\sum_{k\in A_N}\frac1{k^s}.$$ Initialisation : pour $N=0,$ on a \begin{align*} \zeta(s)F_0(s)&=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}-\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n)^s}\\ &=\sum_{k\in A_1}\frac1{k^s} \end{align*} puisqu'$A_1$ est constitué des nombres impairs.
Hérédité : soit $N\in\mathbb N^*$ tel que $\mathcal P_N$ est vraie et prouvons $\mathcal P_{N+1}$. Alors on a \begin{align*} \zeta(s)F_{N+1}(s)&=\zeta(s)F_N(s)\left(1-\frac{1}{p_{N+1}^s}\right)\\ &=\sum_{k\in A_N}\frac{1}{k^s}\left(1-\frac{1}{p_{N+1}^s}\right)\\ &=\sum_{k\in A_N}\frac{1}{k^s}-\sum_{k\in A_N}\frac{1}{(p_{N+1}k)^s}\\ &=\sum_{k\in A_{N+1}}\frac{1}{k^s} \end{align*} où la dernière ligne vient du fait que $A_{N+1}=A_N\backslash p_{N+1}A_N$.
On va faire tendre $N$ vers $+\infty.$ Or, $$\left|\sum_{k\in A_N\backslash\{1\}} \frac1{k^s}\right|\leq \sum_{k\geq p_{N}}\frac1{|k|^s}$$ et ce dernier terme tend vers $0$ lorsque $N$ tend vers $+\infty$, comme reste d'une série convergente. Ainsi, on a bien $\zeta(s)F(s)=1,$ et ceci entraîne bien sûr que $\zeta$ ne s'annule pas sur $\Omega.$
Cela peut être vu comme une conséquence du théorème de convergence monotone. En effet, si $1<x_1<x_2,$ alors $\frac{1}{n^{x_1}}\geq \frac 1{n^{x_2}}\geq 0$ et donc, par le théorème de convergence monotone associé à la mesure de comptage sur $\mathbb N,$ on a $$\lim_{x\to 1^+}\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac 1n=+\infty.$$ Si la série $\sum_n \frac{1}{p_n}$ était convergente, alors le produit infini $P$ convergerait normalement sur $\overline{\Omega}=\{s\in\mathbb C:\ \Re e(s)\geq 1\}$. En particulier, il serait continu en $1$ et on aurait $P(1)\neq 0$ puisqu'aucun des éléments du produit n'est nul. De la relation $\zeta(x)P(x)=1$ valable pour $x>1,$ on prouverait que $$\lim_{x\to 1^+}\zeta(x)=\frac1{P(1)},$$ ce qui est une contradiction avec ce que l'on vient de démontrer.

Exercices corrigés - Suites, séries, intégrales et produits infinis de fonctions holomorphes et méromorphes