Exercices corrigés - Singularités des fonctions holomorphes - fonctions méromorphes
Séries de Laurent
Enoncé
Déterminer la couronne de convergence des séries de Laurent suivantes :
$$\sum_{n\in\mathbb Z}a^{|n|}z^n\quad(a\in\mathbb C),\quad\quad \sum_{n\in\mathbb Z}R(n)z^n$$
où $R$ est une fraction rationnelle sans pôles dans $\mathbb Z$.
Enoncé
Développer en séries de Laurent les fonctions suivantes :
\begin{eqnarray*}
f(z)=z^2\exp\left(\frac 1z\right)&&\textrm{ dans }\{z;\ 0<|z|\}\\
g(z)=\exp\left(z+\frac 1z\right)&&\textrm{ dans }\{z;\ 0<|z|\}\\
h(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}&&\textrm{dans : (i)} \{z;\ |z|<1\},\ \textrm{(ii)}\ \{z;\ 1<|z|<2\},\ \textrm{(iii)}\ \{z;\ |z|>2\}.
\end{eqnarray*}
Exercice 3 - Développement en série de Laurent d'une fraction rationnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le développement en série de Laurent de $f(z)=\frac{1}{(z-2)(z-3)(z-4)}$ dans la couronne $\{z\in\mathbb C:\ 1<|z-2|<2\}$.
Exercice 4 - Développements en séries de Laurent de produits [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soit $f$ la fonction définie sur $D^*=D(0,1)\backslash\{1\}$ par $\displaystyle f(z)=\frac{e^{\frac 1z}}{1-z}.$ Démontrer que son développement en série de Laurent en $0$ est $$f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\sum_{p=\max(0,-k)}\frac 1{p!}\right)z^k.$$
- Donner le développement en série de Laurent en $0$ de la fonction définie sur $\mathbb C^*$ par $$g(z)=\exp\left(z+\frac 1z\right).$$
Singularités
Exercice 5 - Comportement au voisinage d'une singularité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb C^*$ par $f(z)=e^{1/z}$. Démontrer qu'il existe
- une direction suivant laquelle la limite de $f$ en $0$ est $0$.
- une direction suivant laquelle la limite de $f$ en $0$ est $+\infty$.
- une direction suivant laquelle $f(z)$ oscille en restant bornée lorsque $z$ tend vers $0$.
Enoncé
Déterminer les points singuliers isolés des fonctions suivantes,
puis déterminer leur nature (singularité "apparente" ou "effaçable",
pôle, singularité essentielle) :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle z\mapsto \exp(1/z)&\displaystyle z\mapsto \frac{1}{\sin z}-\frac1z&\displaystyle z\mapsto \frac{1}{\exp(z)-1}-\frac{1}{z}\\
\displaystyle z\mapsto \exp\left(\frac z{1-z}\right)&\displaystyle z\mapsto \sin\left(\frac{1}{\sin(1/z)}\right)
\end{array}$$
Enoncé
Exhiber des fonctions holomorphes n'ayant dans le plan complexe que les singularités suivantes :
- un pôle triple en 0, un pôle simple en 1, un point singulier essentiel en $i$ et $-i$;
- un point singulier essentiel en tout entier relatif.
Enoncé
Soient $f$, $g$ deux fonctions entières non identiquement nulles telle que
$|f(z)|\leq |g(z)|$ pour tout $z\in\mathbb C$.
- Montrer que $f/g$ se prolonge en une fonction entière.
- Montrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb C$ tel que $f=\lambda g$.
Enoncé
Soit $U$ un ouvert de $\mathbb C$ et $a\in U$. Soit également $f$ holomorphe sur $U\backslash\{a\}$
admettant une singularité essentielle en $a$. Soit $g$ une fonction entière non constante.
- Prouver que $\overline{g(\mathbb C)}=\mathbb C$.
- En déduire que $a$ est un point singulier essentiel de $g\circ f$.
Enoncé
Le but de l'exercice est de montrer que les bijections holomorphes du plan complexe $\mathbb C$
sur lui-même sont les fonctions du type $z\mapsto az+b$,
où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes et $a\neq 0$.
Pour la suite, on fixe $f$ une bijection holomorphe de $\mathbb C$ sur $\mathbb C$,
et on pose $g(z)=f(1/z)$.
- Montrer que $0$ est un pôle de $g$.
- En déduire que $f$ est un polynôme.
- Conclure.
Fonctions méromorphes
Exercice 11 - Fonctions méromorphes tendant vers l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ telle que
$$\lim_{|z|\to+\infty}|f(z)|=+\infty.$$
En particulier, $f(z)$ est bien défini pour toutes les valeurs de $z$ telles que $|z|\geq R$ pour un certain $R>0$.
- Justifier que $f$ n'admet qu'un nombre fini de pôles dans $\mathbb C$.
- On note $z_1,\dots,z_p$ ces pôles, et $m_1,\dots,m_p$ leur multiplicité respective et on pose $P(z)=(z-z_1)^{m_1}\cdots (z-z_p)^{m_p}$. Pourquoi la fonction $f_1(z)=P(z) f(z)$ se prolonge-t-elle en une fonction entière?
- On considère $g(z)=f_1\left(\frac 1z\right)$, qui est donc une fonction holomorphe sur $\mathbb C^*$. Démontrer que $0$ est un pôle pour $g$.
- On suppose que $f_1$ n'est pas un polynôme. Démontrer que $0$ est une singularité essentielle pour $g$.
- Conclure que $f$ est nécessairement une fraction rationnelle.
Exercice 12 - Application des fonctions méromorphes aux fonctions holomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f,g:\mathbb C\to\mathbb C$ deux fonctions entières. On suppose que, pour tout $z\in\mathbb C$, $|f(z)|\leq |g(z)|$. Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe $\alpha\in\mathbb C$ tel que $f=\alpha g$. On supposera que $g$ n'est pas identiquement nulle, et on pose $h=f/g$.
- Justifier que $h$ est une fonction méromorphe sur $\mathbb C$.
- Démontrer que les singularités de $h$ sont des fausses singularités.
- Conclure.