Exercices corrigés - Fonctions usuelles : fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques
Fonctions hyperboliques
Exercice 1 - Formules de trigonométrie hyperbolique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que, pour tous $x,y\in\mathbb R$,
$$\sh(x+y)=\sh(x)\ch(y)+\ch(x)\sh(y)$$
$$\ch(x+y)=\ch(x)\ch(y)+\sh(x)\sh(y).$$
Exercice 2 - Inégalités et fonctions hyperboliques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer les inégalités suivantes, valables pour tout $x\geq 0$ :
$$\sh(x)\geq x,\ \ch(x)\geq 1+\frac{x^2}2.$$
Enoncé
Montrer que, pour tout $x\neq 0$,
$$\sum_{k=0}^n\cosh(kx)=\frac{\cosh(nx/2)\sinh\big((n+1)x/2\big)}{\sinh(x/2)}.$$
Enoncé
Résoudre l'équation $\cosh(x)=2$.
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $f(x)=x\sinh(1/x)$.
- Étudier la parité de $f$.
- Étudier le comportement de $f$ en $\pm\infty$, en $0$.
- Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb R^*$ et calculer sa dérivée.
- Justifier que pour tout $y\geq 0$, $\tanh(y)\leq y$. En déduire le tableau de variations de $f$, puis tracer la courbe représentative de $f$.
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $n\geq 1$, on a
$$\left(\frac{1+\tanh(x)}{1-\tanh(x)}\right)^n=\frac{1+\tanh(nx)}{1-\tanh(nx)}.$$
Exercice 7 - Une condition nécessaire et suffisante pour résoudre un système [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les couples de réels $(a,b)$ tels que le système
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\cosh(x)+\cosh(y)&=&a\\
\sinh(x)+\sinh(y)&=&b.
\end{array}
\right.$$
admette une solution.