Exercices corrigés - Continuité uniforme
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Écrire, avec des quantificateurs, que $f$ n'est pas uniformément continue.
Enoncé
Soit $f$ une fonction uniformément continue sur une partie $D$ de $\mathbb R$. Soient $(x_n)$ et $(y_n)$
deux suites d'éléments de $D$ telles que $\lim_{n\to+\infty}(x_n-y_n)=0$.
- Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}(f(x_n)-f(y_n))=0$.
- Dire si les fonctions suivantes sont uniformément continues sur l'intervalle considéré.
- $f(x)=1/x$ sur $[1,+\infty[$.
- $f(x)=1/x$ sur $]0,1]$.
- $f(x)=\sin(x^2)$ sur $\mathbb R$.
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur $\mtr$ admettant une période $T$. Prouver que $f$ est uniformément continue.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue.
Enoncé
Soit $f:I\to\mathbb R$ et $g:\mathbb R\to\mathbb R$.
- On suppose que $f$ et $g$ sont uniformémement continues. Montrer que $g\circ f$ est uniformément continue.
- On suppose que $f$ est uniformément continue et bornée et que $g$ est continue. Démontrer que $g\circ f$ est uniformément continue.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction uniformément continue. On pose, pour $x\in\mathbb R$, $g(x)=\sup_{[x,x+1]}f$.
- Démontrer que $g$ est uniformément continue.
- Montrer que si $f$ est supposée simplement continue, alors $g$ est continue.
Exercice 7 - Tend vers $+\infty$ sur les entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une application uniformément continue telle que
la suite $(f(n))_{n\in\mathbb N}$ tende vers $+\infty$. Montrer que $\lim_{+\infty}f=+\infty$.
Le résultat subsiste-t-il si on suppose simplement que $f$ est continue?
Enoncé
Soit $f:]0,1[\to\mathbb R$ une fonction uniformément continue.
Montrer que $f$ est bornée. Que dire de la réciproque?
Exercice 9 - Majorée par une fonction affine - avec détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $F:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une application uniformément continue. On se propose de démontrer qu'il existe
deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in[0,+\infty[$, on ait $F(x)\leq ax+b$. Pour cela, on commence par fixer $\eta_1>0$
tel que
$$\forall (x,y)\in([0,+\infty[)^2,\ \big(|x-y|<\eta_1\implies |F(x)-F(y)|\leq 1\big).$$
On fixe également $x_0\in[0,+\infty[$.
- Soit $n_0$ le plus petit entier tel que $\frac{x_0}{n_0}\leq \eta_1$; justifier l'existence de $n_0$ et démontrer que $n_0\leq \frac{x_0}{\eta_1}+1$.
- Montrer que $$|F(x)-F(x_0)|\leq \sum_{k=0}^{n_0-1}\left|F\left(\frac{(k+1)x_0}{n_0}\right)-F\left(\frac{kx_0}{n_0}\right)\right|.$$
- Conclure.
- La fonction exponentielle est-elle uniformément continue sur $[0,+\infty[$?
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction uniformément continue.
Montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que
$|f(x)|\leq ax+b$ pour tout $x\geq 0$.
Exercice 11 - Une fonction étonnament lipschitzienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions continues. Pour $t\in\mathbb R$, on pose
$$h(t)=\sup\{f(x)+tg(x);\ x\in[a,b]\}.$$
Montrer que $h$ est lipschitzienne.