Exercices corrigés - Compacité : espaces métriques et propriété de Borel-Lebesgue
Enoncé
Soit $E$ un espace métrique compact, et $f:E\to \mathbb R$ une application localement bornée sur $E$ : pour tout $x\in E$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ et $M_x>0$ tel que, pour tout $y\in V_x$, on a $|f(y)|\leq M_x$. Démontrer que $f$ est bornée sur $E$.
Enoncé
Soit $(X,d)$ un espace métrique compact, $(\omega_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $X$.
Montrer qu'il existe $r>0$ tel que :
$$\forall a\in X\ \exists i\in I,\ B(a,r)\subset\omega_i.$$
Enoncé
Soit $X$ un espace métrique, $A$ une partie compacte de $X$ et $B$ une partie fermée de $X$ avec $A\cap B=\varnothing$.
- Démontrer qu'il existe un ouvert $U$ contenant $A$ tel que $\bar U\cap B=\varnothing$.
- On suppose de plus que $B$ est compact. Démontrer qu'il existe un ouvert $V$ contenant $B$ tel que $U\cap V=\varnothing$.
Exercice 4 - Idéaux de l'anneau des fonctions continues sur un compact [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ un espace métrique compact et soit $A=\mathcal C(X,\mathbb R)$ l'anneau des fonctions continues de $X$ dans $\mathbb R$. Soit $I$ un idéal de $A$.
- On suppose qu'il existe $f\in I$ qui ne s'annule pas. Démontrer que $I=A$.
- En déduire que si $I$ est un idéal propre de $A$, il existe $x\in X$ tel que, pour tout $f\in I$, alors $f(x)=0$.