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Exercices corrigés - Compacité : espaces vectoriels normés et propriété de Bolzano-Weierstrass
Enoncé
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
- L'image réciproque d'un compact par une application continue est un compact.
Ensembles compacts
Enoncé
Déterminer si les ensembles suivants sont, ou ne sont pas, compacts :
$$
\begin{array}{ll}
A=\{(x,y)\in \mathbb R^2,\ x^2+y^4=1\}&B=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ x^2+y^5=2\}\\
C=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ x^2+xy+y^2\leq 1\}&D=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ x^2+8xy+y^2\leq 1\}\\
E=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ y^2=x(1-2x)\}.
\end{array}$$
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,2\pi])$ muni de la norme $\|\cdot\|_2$. Pour $n\in\mathbb N$, on pose $f_n(x)=e^{inx}$.
- Calculer $\|f_n-f_p\|_2$ pour $p,n\in\mathbb N$.
- En déduire que $\bar B(0,1)$ n'est pas compacte.
Enoncé
Soient $K,L$ deux parties compactes d'un espace vectoriel normé $E$. On pose $K+L=\{x+y;\ x\in K,\ y\in L\}$. Démontrer que $K+L$ est une partie compacte de $E$.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension $n$. Si $F$ est un sous-ensemble quelconque de $E$, on appelle enveloppe convexe de $F$, et on note $\textrm{Conv}(F)$, le plus petit sous-ensemble convexe (au sens de l'inclusion) contenant $F$. On note $\mathcal H$ l’ensemble des $(\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1})\in(\mathbb R_+)^{n+1}$ tels que $\lambda_1+\cdots+\lambda_{n+1}=1$, et on admet que $\textrm{Conv}(F)$ est l’ensemble des combinaisons linéaires de la forme $\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i$, où $x_1,\dots,x_{n+1}\in F$ et $(\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1})\in \mathcal H$.
Le but de l'exercice est de démontrer que si $K$ est une partie compacte de $E$, alors $\textrm{Conv}(K)$ est aussi une partie compacte de $E$.
- Démontrer que $\mathcal H$ est une partie compacte de $\mathbb R^{n+1}$.
- Définir une application continue $\phi:\mathbb R^{n+1}\times E^{n+1}\to E$ telle que $\textrm{Conv}(K)=\phi(\mathcal H\times K^{n+1})$.
- Conclure.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $B$ la boule unité fermée de $E$ et $S$ la sphère unité. Démontrer que $B$ est compact si et seulement si $S$ est compact.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $K$ une partie compacte de $E$. Pour tout $r>0$, on pose $K_r=\bigcup_{x\in K}\bar B(x,r)$. Démontrer que $K_r$ est une partie compacte de $E$.
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de $\mtr^d$. Pour $n\geq 1$, on pose $A_n=\left\{u_p;\ p\geq n\right\}.$ Démontrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est :
$$V=\bigcap_{n\geq 1}\overline{A_n}.$$
En déduire que si la suite est bornée, $V$ (l'ensemble des valeurs d'adhérence) est compact.
Enoncé
Soit $(E,\|.\|)$ un espace vectoriel normé. Soit $(x_n)$ une suite convergente de $E$ et soit $x$ sa limite. Montrer que l'ensemble :
$$A=\{x\}\cup\{x_n,\ n\in\mtn\}$$ est compact.
Applications à la topologie
Exercice 10 - Compact contenu dans la boule unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé $E$ contenu dans la boule unité ouverte. Démontrer qu'il existe $r<1$ tel que $K$ soit contenu dans $\bar B(0,r)$.
Enoncé
Soient $K,L$ deux compacts disjoints non vides d'un espace vectoriel normé $E$.
Démontrer que $d(K,L)=\inf_{x\in K,\ y\in L}\|y-x\|>0.$
Enoncé
Soit $F$ un fermé, et $C$ un compact de $\mtr^n$. On note $G=F+C=\left\{x+y;\ x\in F\textrm{ et }y\in C\right\}$. Montrer que $G$ est fermé.
Enoncé
Soit $E=\mtr^d$ muni d'une norme $\|\cdot\|$, et $A$ une partie non vide de $E$. On définit la
distance d'un élément $x_0$ de $E$ à une partie $A$ de $E$,
notée $d(x_0,A)$, par la formule $$d(x_0,A)=\inf_{x\in A}\|x-x_0\|.$$
- Supposons $A$ compact. Montrer que pour tout $x_0\in E$ il existe $y\in A$ tel que $d(x_0,A)=\|y-x_0\|$.
- Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que $A$ est fermé. (On remarquera que pour toute partie $B$ de $A$ on a $d(x_0,B)\ge d(x_0,A)$.)
- Montrer que l'application qui à $x_0$ associe $d(x_0,A)$ est continue sur $E$ (sans aucune hypothèse sur $A$).
- En déduire que si $A$ est un fermé de $E$ et $B$ un compact de $E$ tels que $A$ et $B$ sont disjoints, alors il existe une constante $\delta>0$ telle que $$\|a-b\| \ge \delta \qquad \forall (a,b)\in A\times B.$$
- Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que $A$ et $B$ sont deux fermés disjoints.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(K_n)_{n\geq 0}$ une suite de parties compactes de $E$, non vides, telle que, pour chaque entier $n\geq 0$, on $K_{n+1}\subset K_n$. On pose $K=\bigcap_{n\geq 0}K_n$.
- Démontrer que $K\neq\varnothing$.
- Soit $U$ un ouvert contenant $K$. Démontrer qu'il existe un entier $n$ tel que $K_n\subset U$.
Enoncé
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Démontrer qu'il existe toujours une suite exhaustive de compacts $(K_j)_{j \geq 1}$ qui vérifie
- $\forall j\geq 1$, $K_j \subset \Omega$
- $\forall j \geq 1$, $K_j \subset K_{j+1}$
- $\Omega = \cup_{j \geq 1} K_j$.
Applications aux fonctions
Enoncé
Soit $\mathcal C=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n;\ x_1+\dots+x_n=1,\ x_1\geq0,\dots,x_n\geq 0\}$.
Soit également $f:\mathcal C\to\mathbb R^+$ une fonction continue telle que
$f(x)>0$ pour tout $x\in\mathcal C$. Démontrer que $\inf_{x\in\mathcal C}f(x)>0$.
Enoncé
Soit $f:\mtr^d\to\mtr$ une fonction continue telle que $\lim_{\|x\|\to \infty}f(x)=+\infty$. Montrer que $f$ admet un minimum.
Enoncé
Soit $A$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, $f:A\to\mathbb R$. On suppose que $f$ est localement bornée : pour tout $x\in A$, il existe $r>0$ et $M>0$ tels que, pour tout $y\in B(x,r)\cap A$, $|f(y)|\leq M$. Démontrer que $f$ est bornée sur $A$ tout entier.
Exercice 19 - Fonctions non bornées à l'infini (bis) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mtr^n\to\mtr$ une fonction continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
- $\forall M>0,\ \exists R>0\textrm{ tel que }\|x\|>R\implies |f(x)|>M.$
- Pour toute partie bornée $B$ de $\mtr$, $f^{-1}(B)$ est une partie bornée de $\mtr^n$.
- Pour toute partie compacte $K$ de $\mtr$, $f^{-1}(K)$ est une partie compacte de $\mtr^n$.
Enoncé
Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, $K$ une partie compacte de $E$. Soit $f:K\to F$ une application continue et injective. Démontrer que $f$ est un homéomorphisme de $K$ sur $L=f(K).$
Enoncé
Une fonction $f$ définie sur une partie $A\subset\mtr^n$ à valeurs dans $\mathbb R^n$ est dite localement lipschitzienne si,
pour tout $x\in A$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ et une constante $C>0$ telle que :
$$\forall (y,z)\in V_x^2,\ \|f(y)-f(z)\|\leq C\|y-z\|.$$
Montrer qu'une fonction localement lipschitzienne sur une partie compacte $K$ de $\mathbb R^n$
est en fait lipschitzienne.
Enoncé
Soit $E$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, et $f:E\to E$ une fonction continue vérifiant :
$$\forall (x,y) \in E^2,\ x\neq y\implies \|f(x)-f(y)\|< \|x-y\|.$$
- Montrer que $f$ admet un unique point fixe (que l'on notera $\alpha$).
- Ces résultats subsistent-ils si on suppose simplement $E$ fermé?
Enoncé
Soient $A,B$ deux parties d'un espace vectoriel normé $E$ avec $A$ fermé, $f:A\to B$ une application et $G=\{(x,f(x));\ x\in A\}$ son graphe.
- On suppose que $f$ est continue. Démontrer que son graphe est fermé.
- On suppose de plus que $B$ est compact et que le graphe de $f$ est fermé. Démontrer que $f$ est continue (on pourra utiliser le théorème suivant : une suite d’éléments d’une partie compacte converge si et seulement si elle admet une unique valeur d’adhérence.)
Enoncé
Soit $A$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, et $f:A\to A$ vérifiant $\|f(x)-f(y)\|\geq \|x-y\|$ pour tous $x,y\in A$. Le but de l'exercice est de démontrer que $f$ est une isométrie surjective.
- Soit $a,b\in A$, et $(a_n)$, $(b_n)$ les suites de $A$ définies par $a_0=a$, $b_0=b$, $a_{n+1}=f(a_n)$ et $b_{n+1}=f(b_n)$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et tout $p\geq 1$, il existe $k\geq p$ tel que $\|a-a_k\|<\veps$ et $\|b-b_k\|<\veps$. En déduire que $f$ est à image dense.
- On pose $u_n=\|a_n-b_n\|$. Montrer que $(u_n)$ est une suite stationnaire.
- En déduire que $f$ est une isométrie.
- Démontrer que $f$ est surjective.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n$. On note $\bar{B}$ sa boule unité fermée. Pour $\veps>0$, on note $N(\veps)$ le nombre minimum de boules fermées de rayon $\veps$ nécessaires pour recouvrir $B$.
- Montrer que $\dis \left(\frac{1}{\veps}\right)^n\leq N(\veps)\leq \left(1+\frac{2}{\veps}\right)^n.$
- On suppose désormais que $E$ est euclidien. Montrer l'existence d'un ensemble $R$ de cardinal $5^n$ tel que : $$\forall T\in\mcl(E),\ \|T\|\leq 4\sup_{(x,y)\in R^2}<Tx,y>.$$
Divers
Enoncé
Soit $A$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, et $(x_n)$ une suite de $A$ n'admettant qu'une seule valeur d'adhérence. Montrer que $(x_n)$ converge.
Exercice 27 - Valeur propre d'un endomorphisme symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien, et $u$ un endomorphisme symétrique de $E$, c'est-à-dire que $u$ vérifie
$$\forall x,y\in E,\ \pss{u(x)}{y}=\pss{x}{u(y)}.$$
On note $\mathcal S$ la sphère unité de $E$ et $\phi:\mathcal S\to \mathbb R$ l'application définie par $\phi(x)=\pss{u(x)}{x}.$
- Justifier que $\phi$ atteint son maximum sur $\mathcal S$. On désignera par $x_0$ un point où ce maximum est atteint.
- Soit $y$ un vecteur unitaire orthogonal à $x_0$. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $$x(t)=(\cos t)x_0+(\sin t)y\textrm{ et }f(t)=\pss{u(x(t))}{x(t)}.$$ Démontrer que $f$ admet un maximum en $0$.
- En déduire que $y$ est orthogonal à $u(x_0)$.
- En déduire que $x_0$ est un vecteur propre de $u$.