$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Suites de nombres réels ou complexes - suites récurrentes

Suites arithmétiques, géométriques
Exercice 1 - Suite arithmético-géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b\in\mathbb R$ avec $a\neq 1$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_{n+1}=au_n+b$.
  1. Quelle est la seule limite possible $l$ de la suite $(u_n)$?
  2. Soit $v_n=u_n-l$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, et en déduire la nature de la suite $(u_n)$.
  3. Application : on considère un carré de côté 1. On le partage en 9 carrés égaux, et on colorie le carré central. Puis, pour chaque carré non-colorié, on réitère le procédé. On note $u_n$ l'aire hachurée après l'étape $n$. Quelle est la limite de $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Suites récurrentes
Exercice 2 - Approximation du nombre d'or [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On appelle nombre d'or et on note $\phi$ la solution positive réelle de l'équation d'inconnue réelle $x$ : $$x^2-x-1=0.$$ En particulier, on a $\phi=\sqrt{1+\phi}$.
  1. Justifier, sans calculatrice, que $1<\phi<2$.
  2. On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N^*$ par $$u_1=\sqrt 1,\ u_2=\sqrt{1+\sqrt{1}},\ u_3=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 1}}$$ et ainsi de suite, $$u_n=\sqrt{1+\dots+\sqrt{1+\sqrt 1}}$$ avec $n$ radicaux.
    Exprimer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
  3. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $$1\leq u_n\leq\phi.$$
  4. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
  5. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\phi$.
  6. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$|u_{n+1}-\phi|\leq \frac 12 |u_n-\phi|.$$
  7. En déduire que, pour tout $n\geq 1$, $$|u_n–\phi|\leq\frac 1{2^{n-1}}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Fonction croissante - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=x^2+\frac{3}{16}$ et $u_0\geq 0$.
  1. Étudier $f$ et le signe de $f(x)-x$. Quelles sont les limites possible de $(u_n)$?
  2. On suppose $u_0\in[0,1/4]$. Montrer que $u_n\in[0,1/4]$ pour tout $n$, puis que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
  3. On suppose $u_0\in[1/4;3/4]$. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et minorée. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
  4. On suppose $u_0>3/4$. Montrer que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Suite récurrente et fonction logarithme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=1+\ln x$. Soit $u$ la suite définie par son premier terme $u_0\geq 1$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Démontrer que la suite est bien définie et qu'elle est minorée par 1.
  2. Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $[1,+\infty[$.
  3. Étudier la monotonie de $u$.
  4. En déduire que $(u_n)$ est convergente, et donner sa limite.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Fonction décroissante - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:]0,+\infty[\to]0,+\infty[$ définie par $f(x)=1+\frac{2}{x}$. On considère la suite récurrente $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0=1$.
  1. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[1,3]$ et montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on en déduire sur $(u_n)$?
  2. Soient $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par $v_{n}=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$. Montrer que $(v_n)$ est croissante.
  3. Démontrer que $(w_n)$ est décroissante.
  4. En déduire que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et déterminer leur limite respective.
  5. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Fonction croissante - sans indication [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les suites récurrentes suivantes :
  1. $u_0>0$ et $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$;
  2. $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$. Que se passe-t-il si on choisit $u_0=2$?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Fonctions décroissantes - sans indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les suites récurrentes suivantes :
  1. $u_0=1/2$ et $u_{n+1}=(1-u_n)^2$.
  2. $u_0=1/2$ et $u_{n+1}=\sqrt{1-u_n}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la suite définie par $u_0\in\mathbb C$ et $u_{n+1}=\frac{1}5(3u_n-2\overline{u_n})$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(z_n)$ une suite définie par $z_0\in\mathbb C$ et la relation $$z_{n+1}=\frac{az_n+b}{cz_n+d},$$ où $a,b,c,d$ sont des complexes tels que $ad-bc\neq 0$ et $c\neq 0$. On suppose dans toute la suite que $z_0$ est choisi de sorte que la suite $(z_n)$ soit bien définie.
  1. Montrer que la fonction $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ admet un ou deux points fixes dans $\mathbb C$.
  2. On suppose que $f$ admet deux points fixes $\alpha$ et $\beta$ et on pose $$w_n=\frac{z_n-\alpha}{z_n-\beta}$$ (on suppose donc aussi que $z_n\neq\alpha$ et $z_n\neq\beta$ pour tout entier $n$). Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique. En déduire la nature de la suite définie par $z_0=i$ et $z_{n+1}=\frac{1}{1-z_n}$.
  3. On suppose que $f$ admet un unique point fixe $\alpha$ et on pose $$w_n=\frac{1}{z_n-\alpha}.$$ Calculer la valeur de $\alpha$ et prouver que $$f(z)=z-\frac{c(z-\alpha)^2}{cz+d}.$$ Montrer ensuite que la suite $(w_n)$ est arithmétique. En déduire la nature de la suite définie par $z_0=i$ et $z_{n+1}=\frac{3z_n-1}{z_n+1}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a\in\mathbb C$. A quelle condition la suite $u_{n+1}=a u_n^2$, avec $u_0\in\mathbb C$, converge-t-elle vers zéro?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Vitesse de convergence des suites récurrentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels convergente vers $\ell$ et telle que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n\neq \ell$. On associe la suite $(v_n)$ définie par, pour $n\in\mathbb N$, $$v_{n}=\left|\frac{u_{n+1}-\ell}{u_n-\ell}\right|.$$ On suppose que la suite $(v_n)$ converge vers $a$.
  1. Démontrer que $a\in [0,1]$.
    On dit que la vitesse de convergence de la suite $(u_n)$ est
    • lente si $a=1$;
    • géométrique si $a\in ]0,1[$;
    • rapide si $a=0$.
  2. Donner un exemple (simple!) de suite avec convergence lente; avec convergence géométrique; avec convergence rapide.
  3. On suppose dans cette question que la suite $(u_n)$ est donnée par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est de classe $\mathcal C^1$. On suppose que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Déterminer, suivant la valeur de $f'(\ell)$, la vitesse de convergence de la suite $(u_n)$.
Indication
Corrigé
Suites récurrentes d'ordre deux
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite de nombres réels définie par $u_0=-1,\ u_1=-1$ et $u_{n+2}=(n+1)u_{n+1}-(n+2)u_n$.
  1. Calculer les quinze premiers termes de la suite.
  2. Que peut-on conjecturer pour $u_{n+1}-u_n$?
  3. En déduire une conjecture sur la suite $(u_n)$.
  4. Démontrer cette dernière conjecture.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner l'expression du terme général des suites récurrentes $(u_n)$ suivantes :
  1. $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$, $u_0=3$, $u_1=5$.
  2. $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n$, $u_0=1$, $u_1=0$.
  3. $u_{n+2}=u_{n+1}-u_n$, $u_0=1$ et $u_1=2$.
Indication
Corrigé
Suites croisées
Exercice 14 - Méthode de Théon de Smyrne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ par leur premier terme $x_0=y_0=1$ et par les relations de récurrence : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_{n+1}&=&x_n+2y_n\\ y_{n+1}&=&x_n+y_n. \end{array} \right. $$
  1. Justifier que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont à termes strictement positifs.
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, $\frac{x_n}{y_n}\geq 1$.
  3. Démontrer que, pout tout $n\geq 0$, $$\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}-\sqrt 2=\frac{\sqrt 2-1}{\frac{x_n}{y_n}+1}\left(\sqrt 2-\frac{x_n}{y_n}\right).$$
  4. Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, on a $$\left|\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}-\sqrt 2\right|\leq \frac12\left|\sqrt 2-\frac{x_n}{y_n}\right|.$$
  5. En déduire que $$\left|\frac{x_n}{y_n}-\sqrt 2\right|\leq\left(\frac 12\right)^n (\sqrt 2-1).$$
  6. En déduire un algorithme donnant une approximation de $\sqrt 2$ à $10^{-10}$ près.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites de nombres réels définies par $0<x_0<y_0$ et $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_{n+1}&=&\displaystyle \frac{x_n^2}{x_n+y_n}\\ y_{n+1}&=&\displaystyle \frac{y_n^2}{x_n+y_n} \end{array}\right.$$
  1. Montrer que $(y_n-x_n)$ est une suite constante.
  2. En déduire que $(x_n)$ est décroissante.
  3. Montrer que les deux suites sont convergentes, et calculer leur limite respective.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels strictement positifs. On définit :
  • leur moyenne arithmétique, notée $m$, par la relation $m=\frac{x+y}{2}$;
  • leur moyenne géométrique, notée $g$, par la relation $g=\sqrt{xy}$;
  • leur moyenne harmonique, notée $h$, par la relation $\frac 1h=\frac12\left(\frac 1x+\frac 1y\right)$.
  1. Montrer que $h\leq g\leq m$ et vérifier que $\sqrt{mh}=g$.
  2. On définit deux suites $u$ et $v$ par récurrence par la donnée de $u_0$ et $v_0$, avec $0<v_0\leq u_0$, et par les relations de récurrence suivante :
    • $u_{n+1}$ est la moyenne arithmétique de $u_n$ et $v_n$;
    • $v_{n+1}$ est la moyenne harmonique de $u_n$ et $v_n$.
    1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $0<v_n\leq u_n$.
    2. Montrer que la suite $u$ est décroissante et que la suite $v$ est croissante.
    3. Montrer que les deux suites $u$ et $v$ convergent vers la même limite notée $l$.
    4. Montrer que $l$ est la moyenne géométrique de $u_0$ et $v_0$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Moyenne arithmético-géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b\geq 0$ et $(u_n)$, $(v_n)$ les deux suites définies par $$u_0=a,\ v_0=b,\ u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2},\ v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}.$$
  1. Démontrer que pour tous réels positifs $x$ et $y$, on a $$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}2.$$
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq v_n$, $u_n\geq u_{n+1}$ et $v_{n+1}\geq v_n$.
  3. Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite. Cette limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et est notée $M(a,b)$.
  4. Calculer $M(a,a)$ et $M(a,0)$.
  5. Démontrer que, pour tout $\lambda>0$, $M(\lambda a,\lambda b)= \lambda M(a,b)$.
  6. Écrire un algorithme donnant une valeur approchée de la moyenne arithmético-géométrique de deux réels $a$ et $b$, avec une erreur inférieure à un réel donné par l'utilisateur.
Indication
Corrigé
Enoncé
On définit deux suites $(p_n)$ et $(q_n)$ par les formules suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} p_0&=&\displaystyle \frac{3\sqrt 3}2\\ q_0&=&3\sqrt 3\\ q_{n+1}&=&\displaystyle \frac{2p_nq_n}{p_n+q_n}\\ p_{n+1}&=&\displaystyle \sqrt{p_n q_{n+1}} \end{array} \right. $$ On admettra que les suites $(p_n)$ et $(q_n)$ sont bien définies et vérifient, pour tout $n\in\mathbb N$, $p_n>0$ et $q_n>0$. Pour les quatre premières questions, on fera très attention à la nécessité, ou non, d'utiliser un raisonnement par récurrence.
  1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $p_n\leq q_n$.
  2. En déduire que la suite $(q_n)$ est décroissante.
  3. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $p_n\leq q_{n+1}$.
  4. En déduire que la suite $(p_n)$ est croissante.
    1. Vérifier que, si $x,y$ sont des réels strictement positifs, alors $\frac{2xy}{x+y}\leq\frac 12(x+y)$.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $$q_{n+1}-p_{n+1}\leq \frac 12\left(q_n-p_n\right).$$
  5. Démontrer que les suites $(p_n)$ et $(q_n)$ sont adjacentes. On note $\ell$ leur limite.
  6. Écrire un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ à $10^{-10}$ près.
  7. Dans la suite, on souhaite déterminer la valeur de $\ell$ (et donner une explication géométrique à la construction de ces deux suites). On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. Soit $\theta\in [0,\pi]$ et $A(\theta)$ le point d'affixe $e^{i\theta}$. Démontrer que la distance $A(0)A(\theta)$ vaut $2\sin(\theta/2)$.
  8. Pour $n\in\mathbb N$, on note $u_n$ la moitié du périmètre d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité à $3\times 2^n$ côtés. Démontrer que $$u_n=3\times 2^n\times\sin(a_n)$$ où $a_n=\frac{\pi}{3\times 2^n}$.
  9. On définit de même la suite $(v_n)$ pour $n\in\mathbb N$ par $$v_n=3\times 2^n\times\tan(a_n).$$ On démontre que, pour $n\in\mathbb N$, $v_n$ est la moitié du périmètre d'un polygone régulier à $3\times 2^n$ côtés dont le cercle inscrit est le cercle unité.
    Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $$u_{n+1}=\sqrt{u_n v_{n+1}}\textrm{ et }v_{n+1}=\frac{2u_nv_n}{u_n+v_n}.$$
  10. Que peut-on en déduire sur les suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(p_n)$ et $(q_n)$?
  11. Quelle est la limite commune des suites $(p_n)$ et $(q_n)$?
Indication
Corrigé