Exercices corrigés -Séries numériques

Exercice 1

- Equivalent d'une suite récurrente grâce aux séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On considère une suite $(u_n)$ donnée par $u_1>0$ et $u_{n+1}=\frac{3n-1}{3n} u_n$ pour $n\geq 1$.

Démontrer que $(u_n)$ converge.
On pose, pour $n\geq 1$, $v_n=\ln\left(n^{1/3}u_n\right)$.
1. Démontrer que $v_{n+1}-v_n=-\frac 2{9n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)$.
2. En déduire que la série de terme général $(v_{n+1}-v_n)$ converge.
3. En déduire que la suite $(v_n)$ converge. On notera $\lambda$ sa limite.
Donner un équivalent simple de $(u_n)$. La série de terme général $u_n$ est-elle convergente?
La série de terme général $(-1)^n u_n$ est-elle convergente?

Indication

Corrigé

Exercice 2

- Formule de Stirling [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(x_n)$ une suite de réels et soit $(y_n)$ définie par $y_n=x_{n+1}-x_n$. Démontrer que la série $\sum_n y_n$ et la suite $(x_n)$ sont de même nature.
On pose $(u_n)$ la suite définie par $\dis u_n=\frac{n^ne^{-n}\sqrt{n}}{n!}$. Donner la nature de la série de terme général $\dis v_n=\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$.
En déduire l'existence d'une constante $C>0$ telle que : $$n!\sim_{+\infty} C\sqrt{n}n^ne^{-n}.$$

Indication

Corrigé

Exercice 3

- Relation suite/série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(u_n )$ une suite de réels strictement positifs telle que $$\frac{{u_{n + 1} }}{{u_n }} = 1 + \frac{\alpha }{n} + O\left( {\frac{1}{{n^2 }}} \right)\text{, avec }\alpha \in \mathbb{R}.$$ On fixe $\beta\in\mathbb R$ et on pose $$v_n=\ln\big((n+1)^\beta u_{n+1}\big)-\ln\big(n^\beta u_n\big).$$

Pour quel(s) $\beta \in \mathbb{R}$ y a-t-il convergence de la série de terme général $v_n$?
En déduire qu'il existe $A \in \mathbb{R}_+^{\star} $ pour lequel $u_n \sim_{+\infty} An^\alpha.$

Indication

Corrigé

Exercice 4

- Estimation asymptotique d'un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $P_n=\prod_{k=2}^n \left(1+\frac{(-1)^k}{\sqrt k}\right)$. Démontrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $P_n\sim_{+\infty}\frac{e^\lambda}{\sqrt n}$.

Indication

Corrigé

Exercice 5

- Étude d'une suite récurrente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_0\in]0,\pi[$ et $u_{n+1}=\sin u_n$, pour $n\geq 0$.

Etudier la convergence de $(u_n)$.
Montrer que $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1. Calculer la limite de $\frac{u_n+u_{n+1}}{u_n}$.
Montrer que $\frac{u_n-u_{n+1}}{u_n^3}$ tend vers 1/6.
En déduire que $\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2}$ tend vers 1/3.
Montrer que l'on a $\lim(\sqrt{n}u_n)=\sqrt{3}.$

Indication

Corrigé

Exercice 6

- Irrationalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On rappelle que $\cos(1)$ est défini par la série $\cos(1)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}$. Montrer que $\cos(1)$ est irrationnel.

Indication

Corrigé

Exercice 7

- Transcendance des nombres de Liouville [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Un réel $a$ est dit algébrique s'il existe un polynôme $P\in\mathbb Z[X]$ non nul à racines simples tel que $P(a)=0$. Dans le cas contraire, il est dit transcendant.

Soit $P\in\mathbb Z[X]$ de degré $d$, $p\in\mathbb Z$ et $q\geq 1$ tel que $P(p/q)\neq 0$. Démontrer que $\left|P\left(\frac pq\right)\right|\geq\frac 1{q^d}.$
En déduire que si $a$ est algébrique, il existe $C>0$ tel que, pour tout $p\in\mathbb Z$ et tout $q\geq 1$ tel que $\frac pq\in [a-1,a+1]$ et $a\neq \frac pq$, alors $$\left|a-\frac pq\right| \geq \frac C{q^d}.$$
Démontrer que la série $\sum_{n\geq 1}{10^{-n!}}$ est convergente. On note $\ell$ sa somme et $S_n$ la somme partielle d'ordre $n$.
Démontrer que $|\ell-S_n|\leq \frac{10}9\times \frac 1{10^{(n+1)!}}.$
En déduire que $\ell$ est transcendant.

Indication

Corrigé

Exercice 8

- Au niveau Terminale S [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Proposer un énoncé d'exercice, au niveau Terminale Spécialité Maths, prouvant la convergence de la suite $(K_n)_{n\geq 1}$ définie par $\displaystyle K_n=\sum_{k=1}^n\frac 1{k^2}.$

Indication

Corrigé

Exercice 9

- Sur le développement décimal d'un réel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On rappelle que si $x$ est un réel positif, on appelle développement décimal propre de $x$ la donnée d'un entier $m$ et d'une suite $(a_n)_{n\geq 1}$ d'entiers de $\{0,\dots,9\}$, non stationnaire à $9$, tels que $$x=m+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}.$$ On rappelle que tout réel positif admet un unique développement décimal propre, et qu'on écrit alors $x=m,a_1a_2a_3\dots$.

Quel est le réel dont le développement décimal propre est $m=0$, et $a_n=5$ pour tout $n\geq 1$? Celui dont le développement décimal propre est $m=12$ et $(a_n)$ est donnée par $a_{3n+1}=2$, $a_{3n+2}=3$,$a_{3n+3}=1$, pour tout $n\geq 0$?
Déterminer le développement décimal propre de $4/7$.
Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur son développement décimal propre, pour qu'un réel positif soit décimal.
Soit $x\in ]0,1[$ admettant un développement décimal périodique, c'est-à-dire qu'il existe $n_0\geq 1$ et $p\geq 1$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $a_{n+p}=a_n$. On souhaite démontrer que $x$ est rationnel.
1. On note $$y=a_{n_0}+\frac{a_{n_0+1}}{10}+\dots+\frac{a_{n_0+p-1}}{10^{p-1}}.$$ Démontrer qu'il existe un rationnel $r$ tel que $$x=r+\frac{y}{10^{n_0}}\times\sum_{l=0}^{+\infty}\frac{1}{10^{lp}}.$$
2. Conclure.
Réciproquement, soit $x\in ]0,1[\cap\mathbb Q$. On écrit $x=a/b$ avec $a,b$ des entiers naturels.
1. Démontrer qu'il existe $0\leq s<t$ tels que $10^s a$ et $10^t a$ ont même reste dans la division euclidienne par $b$.
2. En déduire que $\frac{10^s a}{b}-\frac{10^t a}{b}$ est un entier.
3. On note $(a_n)_{n\geq 1}$, $(b_n)_{n\geq 1}$ et $(c_n)_{n\geq 1}$ les parties fractionnaires des développements décimaux propres de, respectivement, $\frac ab$, $\frac{10^s a}{b}$ et $\frac{10^t a}{b}$. Exprimer les suites $(b_n)$ et $(c_n)$ en fonction de la suite $(a_n)$, puis donner une relation entre les suites $(b_n)$ et $(c_n)$.
4. En déduire que $(a_n)$ est périodique.
Démontrer que les nombres décimaux sont denses dans l'ensemble des nombres réels.
En déduire que les nombres rationnels sont denses dans l'ensemble des nombres réels.
Les nombres irrationnels sont-ils denses dans l'ensemble des nombres réels? On pourra utiliser que si $q$ est un rationnel non nul, alors $\sqrt 2 q$ est un irrationnel.

Indication

Corrigé

Soit $x=0,555555\dots$. Alors $10x=5,5555=5+x$. Ainsi, $9x=5$ et $x=5/9$. De la même façon, si $y=0,231231\dots$, alors $1000y=231,231231\dots$ et donc $1000y=231+y$. Il vient $y=231/999$ et donc si $z=12,231231\dots$, on a $z=12+\frac{231}{999}$.
En posant la division (ou avec la calculatrice), on constate que $\frac 47=0,57142857142857\dots$ et que cette suite "571428" se répète. Reste à le prouver. Quand on pose la division, l'étude des restes successifs montre qu'après 6 divisions, on retrouve le nombre de départ, 4. Ceci signifie encore que $400000=571428\times 7+4.$ Si on divise par $7\times 10^6$, on trouve que $$\frac{4}7=\frac{571428}{10^6}+\frac {4/7}{10^6}.$$ En notant $(a_n)_{n\geq 1}$ le développement décimal propre de $4/7$ (avec $m=0$), on a encore $$\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{10^n}=\frac{571428}{10^6}+\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{10^{n+6}}.$$ Ceci montre, par unicité du développement décimal propre, que $a_1=5$, $a_2=7$, $a_3=1$, $a_4=4$, $a_5=2$, $a_6=8$ et que, pour tout $n\geq 1$, $a_{n+6}=a_n$. On en déduit immédiatement que, pour tout $n\geq 0$, $a_{6n+1}=5$, $a_{6n+2}=7$, $a_{6n+3}=1$, $a_{6n+4}=4$, $a_{6n+5}=2$, $a_{6n+6}=8$.
Rappelons qu'un réel $x$ est décimal s'il s'écrit $\frac{a}{10^n}$, où $a\in\mathbb Z$ et $n\in\mathbb N$ sont des entiers. Puisque l'on suppose que $x\geq 0$, on a $a\geq 0$ qui s'écrit $10^p b_p+\dots+10 b_1+b_0$, avec $b_i\in\{0,\dots,9\}$. Ainsi, $x$ est décimal si et seulement s'il s'écrit $$x=10^{p-n}b_p+\dots+10 b_{p-n+1}+b_{p-n}+\frac{b_{p-n-1}}{10}+\dots+\frac{b_0}{10^{n}}$$ autrement dit, si et seulement si son développement décimal propre est fini (la suite $(a_n)$ est nulle à partir d'un certain rang).
1. On écrit que \begin{eqnarray*} x&=&m+\sum_{k=1}^{n_0-1}\frac{a_k}{10^k}+\sum_{n\geq n_0}\frac{a_n}{10^n}\\ &=&m+\sum_{k=1}^{n_0-1}\frac{a_k}{10^k}+\sum_{l\geq 0}\sum_{k=n_0}^{n_0+p-1}\frac{a_{k+lp}}{10^{k+lp}}\\ &=&m+\sum_{k=1}^{n_0-1}\frac{a_k}{10^k}+\sum_{l\geq 0}\frac1{10^{lp}}\sum_{k=n_0}^{n_0+p-1}\frac{a_{k}}{10^{k}}\\ &=&m+\sum_{k=1}^{n_0-1}\frac{a_k}{10^k}+\frac{y}{10^{n_0}}\sum_{l\geq 0}\frac1{10^{lp}} \end{eqnarray*} où, dans la deuxième ligne, on a regroupé les termes par paquets de $p$, dans la troisième ligne, on a utilisé la périodicité de la suite $(a_k)$, et dans la quatrième ligne, on a reconnu $y/10^{n_0}$. On obtient le résultat voulu en posant $$r=m+\sum_{k=1}^{n_0-1}\frac{a_k}{10^k}.$$
2. On sait que $$\sum_{l\geq 0}\frac1{10^{lp}}=\frac{1}{1-\frac{1}{10^p}}\in\mathbb Q.$$ Ainsi, $x$, somme et produit de rationnels, est rationnel.
1. Puisque le reste dans la division euclidienne de $10^s a$ dans la division euclidienne par $b$ est un entier de $\{0,\dots,b-1\}$, il y a un nombre fini de restes possibles. Mais comme il y a une infinité d'entiers $10^s a$, avec $0\leq s$, c'est bien que deux restes doivent être égaux.
2. Soit $r$ le reste commun de $10^s a$ et $10^s b$ dans la division par $b$. On a $$10^s a=bq_1+r\textrm{ et }10^t a=bq_2+r.$$ En effectuant la différence de ces deux égalités, et en divisant par $b$, on trouve $$\frac{10^s a}b-\frac{10^t a}b=q_1-q_2\in\mathbb Z.$$
3. On a clairement, pour tout $n\geq 1$, $b_n=a_{n+s}$, $c_n=a_{n+t}$. De plus, d'après la question précédente, on a aussi $b_n=c_n$ pour tout $n\geq 1$.
4. Il vient, pour tout $n\geq 1$, que $a_{n+s}=a_{n+t}$. Ceci implique que la suite $(a_n)$ est périodique. En effet, posons $p=t-s\geq 1$ et $n_0=s+1$. Alors, pour tout $n\geq n_0$, $k=n-s\geq 1$ et donc $a_n=a_{k+s}=a_{k+t}=a_{n+t-s}=a_{n+p}$. Ainsi, le développement décimal propre d'un rationnel est périodique.
Soit $x$ un réel positif, de développement décimal $m$ et $(a_n)$, et notons, pour $N\geq 1$, $x_N=m+\sum_{n=1}^N \frac{a_n}{10^n}$. Alors, pour tout $N\geq 1$, $x_N$ est un décimal et la suite $(x_N)$ converge vers $x$. Ceci prouve que les décimaux sont denses dans les réels positifs. Puisque si $(x_n)$ tend vers $x$, alors $(-x_n)$ tend vers $-x$, on déduit que les décimaux sont denses dans les réels.
Les décimaux sont des rationnels. Ainsi, la suite précédente $(x_n)$ est aussi une suite de rationnels. Et donc les rationnels sont aussi denses dans les réels.
Soit $x$ un réel et posons $y=x/\sqrt 2$. Alors il existe une suite $(y_n)_n$ de rationnels qui converge vers $y$. Posons, pour $n\geq 1$, $x_n=\sqrt 2 y_n$. Alors $(x_n)$ est une suite d'irrationnels qui converge vers $x$. Ainsi, l'ensemble des irrationnels est dense dans $\mathbb R$.

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