Exercices corrigés - Intégrale de Lebesgue
Exercice 1 - Majoration d'intégrales qui passe à la limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables positives qui converge simplement vers $f$. On suppose qu'il existe $M>0$ tel que $\int_E f_nd\mu\leq M$ pour tout $n\geq 0$. Démontrer que $\int_E fd\mu\leq M$.
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite décroissante de fonctions mesurables positives convergeant presque sûrement vers $f$. On suppose que $\int_E f_0 d\mu$ est finie. Démontrer que $\int_E f_n d\mu\to \int_E fd\mu$. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose pas $\int_E f_0d\mu<+\infty$?
Exercice 3 - Intégration par rapport à la mesure de comptage [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On rappelle que la mesure de comptage est définie sur $(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))$ par $\mu(A)=\textrm{card}(A)$ si $A$ est fini, et $\mu(A)=+\infty$ sinon.
- Soit $f\geq 0$. Justifier que $\int_{\mathbb N} fd\mu=\sum_{n\geq 0}f(n)$.
- Soit $(u_{n,p})_{n,p\geq 0}$ une suite de réels positifs. Démontrer que $$\sum_{n\geq 0}\sum_{p\geq 0}u_{n,p}=\sum_{p\geq 0}\sum_{n\geq 0}u_{n,p}.$$
- En déduire la valeur de $\sum_{p=2}^{+\infty}\sum_{n=2}^{+\infty}\frac 1{n^p}$.
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $h:E\to [0,+\infty]$ mesurable. On définit $\nu$ sur $\mathcal A$ par $\nu(A)=\int_A hd\mu=\int_E \mathbf 1_A h d\mu$.
- Vérifier que $\nu$ est une mesure sur $(E,\mathcal A)$.
- Démontrer que si $A\in\mathcal A$ vérifie $\mu(A)=0$, alors $\nu(A)=0$.
- Soit $f:(E,\mathcal A)\to (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ mesurable. Démontrer que $f$ est $\nu$-intégrable si et seulement si $fh$ est $\mu$-intégrable et que, dans ce cas, on a $$\int_E fd\nu=\int_E fhd\mu.$$
Exercice 5 - Une condition nécessaire et suffisant pour la convergence en norme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables qui converge presque partout vers $f$. On suppose que $f$ et les fonctions $f_n$ sont intégrables.
- On suppose que $\lim_n \int_E |f_n-f|d\mu=0$. Prouver que $\int_E f_nd\mu\to \int_E fd\mu$ et $\int_E |f_n|d\mu\to \int_E |f|d\mu$.
- On suppose que $\int_E |f_n|d\mu\to \int_E |f|d\mu$. Démontrer que $\int_E |f_n-f|d\mu\to 0$.
- Montrer que l'hypothèse $\int_E f_n d\mu\to \int_E fd\mu$ n'entraine pas que $\int_E |f_n-f|d\mu\to 0$.
Exercice 6 - Intégration par rapport à la mesure image [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mathcal \mu)$ un espace mesuré et $(F,\mathcal B)$ un espace mesurable. Soit $g:(E,\mathcal A)\to (F,\mathcal B)$ mesurable. Pour $B\in\mathcal B$, on pose $\nu(B)=\mu\big(g^{-1}(B)\big)$.
- Vérifier que $\nu$ est une mesure sur $(F,\mathcal B)$. On l'appelle mesure image de $\mu$ par $g$.
- On suppose dans cette question que $(E,\mathcal A,\mu)=(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R),\lambda)$ et que $g$ est la fonction partie entière. Déterminer $\nu$.
- On suppose dans cette question que $(E,\mathcal A,\mu)=(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R),\delta_a)$, où $a$ est un réel fixé, que $(F,\mathcal B)=(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$. Déterminer $\nu$.
- On revient au cas général, et on fixe $f:(F,\mathcal B)\to (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ mesurable. Démontrer que $f$ est intégrable par rapport à $\nu$ si et seulement si $f\circ g$ est intégrable par rapport à $\mu$ et que dans ce cas $$\int_F fd\nu=\int_E f\circ gd\mu.$$
Enoncé
Soit $(X,\mathcal B,\mu)$ un espace mesuré, et soit $f$ une fonction intégrable. Démontrer la propriété suivante :
$$\forall\veps>0,\ \exists\delta>0,\ \forall A\in\mathcal B,\ \mu(A)<\delta\implies \int_A |f|d\mu<\veps.$$
Enoncé
Soit $(E,\mathcal B,\mu)$ un espace mesuré avec $\mu$ une mesure finie et $f:E\to\mathbb R$ une fonction mesurable.
Pour chaque $n\in\mathbb N$, on pose
$$A_n=\{x\in E;\ |f(x)|\geq n\}\quad\quad B_n=\{x\in E;\ n\leq |f(x)|< n+1\}.$$
Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
- $f$ est intégrable;
- la série $\sum_{n\geq 0}n\mu(B_n)$ est convergente;
- la série $\sum_{n\geq 0}\mu(A_n)$ est convergente.