Exercices corrigés - Intégration des fonctions continues par morceaux
Propriétés relatives à la construction
Enoncé
- Soient $m,n\in\mathbb Z^2$ avec $n\geq m$. Calculer $\int_m^n \lfloor x \rfloor dx$.
- Calculer $\int_{-1}^2 x|x|dx$.
- Calculer, pour tout $a\in\mathbb R$, $I(a)=\int_0^1 \min(x,a)dx$.
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $|f(x)|\leq 1$ pour tout $x\in[a,b]$
et $\int_a^b f(x)dx=b-a$. Que dire de $f$?
Enoncé
Déterminer les fonctions continues $f:[0,1]\to [0,1]$ vérifiant $\int_0^1 f(t)dt=\int_0^1 f^2(t)dt$.
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue telle que
$$\left|\int_a^b f(t)dt\right|=\int_a^b |f(t)|dt.$$
Montrer que $f$ garde un signe constant sur $[a,b]$.
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. Montrer que si $\int_0^1 f(t)dt=\frac 12$, alors $f$ admet au moins un point fixe dans $[0,1]$.
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$, $a<b$, une fonction continue non identiquement nulle. On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que,
pour tout $k\leq n$, on a $\int_a^b t^k f(t)dt=0$.
On souhaite prouver que, dans l'intervalle $[a,b]$, il existe au moins $n+1$ points où $f$ s'annule en changeant de signe.
- Traiter le cas $n=0$.
- Traiter le cas $n=1$.
- Traiter le cas général.
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue. Démontrer que sa valeur moyenne est atteinte : il existe $c\in [a,b]$ tel que
$$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt.$$
Enoncé
- Démontrer que la fonction $\sin$ est lipschitzienne sur $\mathbb R$.
- Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue. Démontrer que la fonction $F:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $$F(x)=\int_a^b f(t)\sin(xt)dt$$ est lipschitzienne.
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. Pour tout $x\in\mathbb R$, on pose
$$g(x)=\int_0^1 f(t)e^{tx}dt.$$
Démontrer que $g$ est une fonction continue sur $\mathbb R$.
Enoncé
Soit $\varphi$ une fonction en escalier sur $[a,b]$. On pose
$$u_n=\int_a^b\varphi(x)\sin(nx)dx.$$
Montrer que $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$. Montrer que cette propriété est conservée si $\varphi$ est continue par morceaux sur $[a,b]$.
Exercice 11 - Approximation d'une valeur absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ et soit $\veps>0$.
- On suppose que $f$ est en escalier. Montrer qu'il existe $g:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $\int_{a}^b fg\geq \int_a^b |f|-\veps$ et $|g|\leq 1$.
- Reprendre la même question si $f$ est continue.
Lien dérivée/intégrale
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout couple $(\alpha,\beta)\in[a,b]^2$, on a
$\int_\alpha^\beta f(x)dx=0$. Montrer que $f\equiv 0$.
Exercice 13 - Intégrale d'une fonction périodique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue périodique de période $T$. On souhaite démontrer que, pour tout $a\in\mathbb R$, on a
$$\int_a^{a+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt.$$
- Démontrer le résultat en introduisant la fonction $g(x)=\int_x^{x+T}f(t)dt$.
- Démontrer le résultat en introduisant un entier $n$ tel que $a\leq nT\leq a+T$ et en utilisant la relation de Chasles.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f'$ est $T$-périodique. On suppose
que $f(T)\neq f(0)$.
- Montrer que pour tout $n\geq 1$, $f(nT)-f((n-1)T)=f(T)-f(0)$.
- En déduire que $f$ n'est pas périodique.
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb R$ telles que, pour tout $x\in[0,1]$, on a $f(x)=\int_0^x g(t)dt$ et $g(x)=\int_0^x f(t)dt$. On pose $u=f-g$.
- Démontrer que $u'=-u$ et que $u(0)=0$.
- En déduire que $f=g=0$.
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions continues $f:\mathbb R\to\mathbb R$ vérifiant, pour tous $(x,y)\in\mathbb R^2$,
$2yf(x)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt$.
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ réalisant une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[0,+\infty[$.
- Justifier que $f$ est strictement croissante.
- Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R^+$, on a $$xf(x)=\int_0^x f(t)dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)dt.$$
- En déduire que, pour tout $(x,y)\in[0,+\infty[^2$, on a $$xy\leq \int_0^x f(t)dt+\int_0^yf^{-1}(t)dt.$$ Dans quel cas a-t-on égalité?
Sommes de Riemann
Enoncé
Calculer la limite des suites suivantes :
- $\dis u_n=\frac 1n\left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)+\dots+\sin\left(\frac{n\pi}{n}\right)\right).$
- $\dis u_n=n\left(\frac{1}{(n+1)^2}+\dots+\frac{1}{(n+n)^2}\right).$
- $\dis u_n=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n-1}}{n\sqrt{n}}.$
- $\dis u_n=\sqrt[n]{\left(1+\left(\frac{1}{n}\right)^2\right)\left(1+\left(\frac{2}{n}\right)^2\right)\dots\left(1+\left(\frac{n}{n}\right)^2\right)}$.
Enoncé
Déterminer la limite de
$$v_n=\frac1n\prod_{k=1}^n (k+n)^{1/n}.$$
Enoncé
Déterminer la limite de $S_n=\sum_{p=n}^{2n}\frac 1p$.
Enoncé
Soit $f$ continue sur $[0,1]$. Déterminer la limite de la suite $u_n=\frac 1n\sum_{k=0}^n (-1)^k f\left(\frac kn\right).$
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $g:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et convexe. Démontrer que
$$g\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt \right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b g(f(t))dt.$$
Intégrales et suites
Enoncé
Pour $n\geq 0$, on définit
$$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx.$$
- Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
- Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
- En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.
Enoncé
-
- Montrer que, pour tout $i\geq 2$, $$\int_{i-1}^i\ln t\,dt\leq\ln i\leq\int_i^{i+1}\ln t \,dt.$$
- Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$\int_1^n \ln t\,dt\leq \ln(n!)\leq \int_1^n\ln t \,dt+\ln n.$$
- Pour tout $x>0$, calculer $F(x)=\int_1^x \ln t\, dt.$
- En déduire que $\ln(n!)$ est équivalent à $n\ln(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Enoncé
On pose, pour $n\geq 1$,
$$u_n=\sum_{k=1}^n \frac1k\textrm{ et }v_n=u_n-\ln n.$$
- Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $$\frac{1}{k+1}\leq\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leq \frac 1k.$$
- En déduire que pour tout entier $n\geq 2$, on a $$u_n-1\leq \ln n\leq u_n-\frac 1n\textrm{ et }0\leq v_n\leq 1.$$
- Démontrer que pour tout entier naturel non nul, $$v_{n+1}-v_n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{dx}x.$$
- En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers une limite $\gamma$ (que l'on ne cherchera pas à calculer). Que dire de $(u_n)$?
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N$, on pose
$$I_n=\int_0^1 (1-t^2)^n dt.$$
- Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
- Montrer que, pour tout $u\in [0,1]$, on a $0\leq 1-u\leq e^{-u}$.
- En déduire une majoration de $I_n$ à l'aide de $J_n=\int_0^{\sqrt n}e^{-x^2}dx$.
- Montrer que la suite $(J_n)$ est majorée. En déduire que la suite $(I_n)$ converge vers une limite que l'on calculera.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $I_{n}=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}$.
- En déduire, pour $n\geq 0$, une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles,
- En déduire une expression de $\int_0^{\pi/2}\cos^{2n+1}\theta d\theta$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Exercice 27 - Intégrales de Wallis - convergence vers 0 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx$, pour $n\in\mtn$.
- Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
- Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
- Soit $\veps\in]0,\pi/2[$.
- Montrer que $I_n\leq \frac{\pi}{2}\sin^n\left(\frac\pi 2-\veps\right)+\veps$.
- En déduire (proprement!) que $(I_n)$ converge vers 0.
Exercice 28 - Intégrales de Wallis - obtention d'un équivalent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N$, on définit $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx$.
- Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n xdx$.
- Démontrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
- Etablir que, pour tout $n\in\mtn$, on a : $(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n$.
- Montrer que, pour tout $p\in\mathbb N$, $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\frac{\pi}{2}\textrm{ et }I_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.$$
- Montrer que $(n+1)I_{n+1}I_n=\frac{\pi}{2}$.
- Montrer que $\dis \frac{n+1}{n+2}\leq \frac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1$ et en déduire que $I_{n+1}\sim_{+\infty}I_n$.
- Montrer que $\dis I_n\sim_{+\infty} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.
Enoncé
On pose, pour $n\geq 0$, $u_n=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n (t)dt$.
- Calculer $u_0$, $u_1$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, $u_n\geq 0$. Étudier la monotonie de $(u_n)$. Que peut-on en déduire?
- Établir que, pour tout $n\geq 1$, $(n+1)u_{n+1}=nu_{n-1}$ (on pourra effectuer une intégration par parties).
- Soit $(v_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $v_n=(n+1)u_{n+1}u_n$ pour tout $n\in\mathbb N$. Démontrer que $(v_n)$ est une suite constante. Quelle est sa valeur?
- En déduire que, pour tout $n\in\mathbb N$, $(n+1)u_{n+1}^2\leq 2\pi\leq (n+1)u_n^2.$
- Donner, à l'aide de la question précédente, un encadrement de $u_n$.
- En déduire que $u_n\sim_{+\infty}\sqrt{\frac{2\pi}n}$.
Suites d'intégrales
Enoncé
Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2.\ u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}.
\end{array}
$$
Exercice 31 - Lemme de Riemann-Lebesgue pour les fonctions de classe $C^1$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. Démontrer que
$$\int_a^b f(t)\sin(nt)dt\to 0.$$
Enoncé
Pour $n\geq 0$, on considère la suite $(I_n)$ définie par
$$I_n=\int_0^1 e^x (1-x)^n dx.$$
- Calculer $I_0$ puis démontrer que, pour tout $n\geq 0$, $I_{n+1}=(n+1)I_n-1$.
- Écrire sous Python une fonction permettant de calculer $I_n$ en utilisant la relation de récurrence obtenue précédemment. Exécuter cette fonction. Quelle conjecture peut-on formuler sur la nature de la suite $(I_n)$?
- Démontrer que $(I_n)$ est une suite décroissante, puis qu'elle est convergente. Quelle est sa limite? Comparer avec votre conjecture.
- Pour $a\in \mathbb R$, on définit une suite $(J_n)$ par $J_{n+1}=(n+1)J_n-1$ et $J_0=a$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $J_{n+1}-I_{n+1}=(n+1)(J_n-I_n)$.
- En déduire, suivant la valeur de $a$, le comportement de la suite $(J_n)$.
- Expliquer le phénomène conduisant à la conjecture formulée à la question 2.
Enoncé
On note, pour $n\geq 1$,
$$I_n=\int_0^1 \frac 1{1+x^n}dx.$$
Soit également $\alpha\in [0,1[$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n\leq 1$$ (on pourra encadrer $\int_0^\alpha$ puis $\int_\alpha^1$).
- Démontrer que $(I_n)$ est croissante.
- Déduire des questions précédentes que $(I_n)$ converge vers $1$.
- En s'inspirant du modèle précédent, étudier $$J_n=\int_0^{\pi/2}e^{-n\sin t }dt.$$
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ strictement croissante telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$.
Prouver que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\big(f(t))^n dt=0.$
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite finie $a$ en $+\infty$.
Montrer que
$$\frac 1x\int_0^x f(t)dt\to a\textrm{ quand }x\to+\infty.$$
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie, continue, positive sur $[a,b]$. Montrer que
$$\lim_{n\to +\infty}\left(\int_a^b f(x)^n dx\right)^{1/n}=\sup_{x\in [a,b]}f(x).$$
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et périodique de période $1.$ Soit également $a<b$ deux réels.
Démontrer que
$$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f(nx)dx=(b-a)\int_0^1 f(t)dt.$$
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. On pose $u_n=\int_0^1 t^n f(t)dt$.
- Démontrer que $(u_n)$ tend vers 0.
- On suppose de plus que $f$ est $C^1$ et que $f(1)\neq 0$. Déterminer un équivalent de $(u_n)$.
Enoncé
Soit $g:[0,1]\to\mathbb R$ continue.
- Étudier la suite $(L_n)$ définie par $L_n=\int_0^1 t^n g(t)dt$.
- On suppose que $g$ vérifie $g(1)=0$. Étudier la suite $(I_n)$ définie par $I_n=n\int_0^1 t^n g(t)dt.$
- On suppose maintenant que $g$ est de classe $C^1$ et vérifie $g(1)=g'(1)=0$. Etudier la suite $(J_n)$ définie par : $J_n=n^2\int_0^1 t^ng(t)dt.$
Enoncé
On pose $\mathcal E=\{f\in\mathcal C^1([0,1],\mathbb R);\ f(0)=0\textrm{ et }f(1)=1\}$.
- Soit $f\in\mathcal E$.
- Démontrer que l'on a $$\int_0^1 e^{-t}\big(f'(t)-f(t)\big)dt=\frac 1e.$$
- En déduire l'inégalité $$\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt\geq\frac 1e.$$
- Discuter le cas d'égalité.
- Soit $n\geq 2$ un entier. On définit la fonction $f_n$ sur $[0,1]$ par
$$f_n(t)=\left\{
\begin{array}{ll}
n(2t-nt^2)e^{t-1}&\textrm{ si }t\in \left[0,\frac 1n\right[\\
e^{t-1}&\textrm{ si }t\in \left[\frac 1n,1\right].
\end{array}\right.$$
- Justifier que $f_n\in\mathcal E$.
- On pose $$I_n=\int_0^1 |f_n'(t)-f_n(t)|dt.$$ Montrer que $$I_n=\frac 2e\int_0^1 (1-x)e^{x/n}dx.$$
- Calculer $\dis \frac2e \int_0^1 (1-x)dx$ puis montrer que $$\left|I_n-\frac 1e\right|\leq \frac 1e\left(e^{1/n}-1\right).$$
- Que vaut $\inf_{f\in\mathcal E}\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt$?
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Exercice 41 - Norme deux d'une fonction et de sa dérivée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $f(a)=0$.
- Prouver que, pour tout $x\in[a,b]$, $$|f(x)|^2\leq (x-a)\int_a^b |f'(t)|^2dt.$$
- En déduire que $$\int_a^b |f(x)|^2dx\leq\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b |f'(x)|^2dx.$$
Enoncé
Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues strictement positives sur $[0,1]$.
Calculer, après en avoir justifié l'existence
$$\inf_{f\in E}\left(\int_0^1 f(x)dx\times\int_0^1\frac1{f(x)}dx\right).$$
Cette borne inférieure est-elle atteinte? Si oui, par quelles fonctions?
Fonctions définies par une intégrale
Enoncé
- Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $a\in I$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Exprimer $F$ en fonction de $f:x\mapsto \int_a^x h(t)dt$. En déduire que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
- On considère la fonction $F$ définie sur $J=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $J$.
- En utilisant la décroissance de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$ sur $I=]1,+\infty[$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
- En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\int_x^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}$.
- Quel est le domaine de définition de $f$? Est-elle paire, impaire?
- Étudier les variations de $f$, puis l'existence de limites aux bornes de l'ensemble de définition.
Enoncé
Pour $x>0$, on note $\varphi(x)=\frac {e^{-x}}x$ et $f(x)=\int_{x}^{2x}\varphi(t)dt$.
- Justifier que $f$ est bien définie sur $]0,+\infty[$.
- Exprimer $f$ en fonction d'une primitive $\phi$ de $\varphi$. En déduire que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et calculer sa dérivée.
- Étudier les variations de $f$ sur $]0,+\infty[$.
- Établir que, pour tout $x>0$, $e^{-2x}\ln(2)\leq f(x)\leq e^{-x}\ln(2)$. En déduire la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
- On pose, pour $x\in ]0,1[$, $g(x)=\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}$. Donner une relation entre $f$ et $g$, et en déduire la limite de $g$ en $1$.
Enoncé
Étudier la fonction suivante sur $\mathbb R$ :
$$f:x\mapsto\int_0^{\sin^2 x}\arcsin\sqrt tdt+\int_0^{\cos^2 x}\arccos \sqrt tdt.$$
Enoncé
Question préliminaire : Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et
$$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$
Justifier que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
On définit, pour $x\in[0,1[$, $$f(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$$
On définit, pour $x\in[0,1[$, $$f(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$$
- En utilisant la concavité du logarithme, démontrer que $$\forall x\in]0,1[,\ \forall t\in]x^2,1],\ \frac{2\ln x}{x^2-1}(t-1)\leq \ln t\leq t-1.$$
- En déduire que $f$ se prolonge par continuité en 1.
- Justifier que $f$ est dérivable sur $[0,1]$, et calculer sa dérivée.
- En déduire la valeur de $I=\int_0^1\frac{(t-1)}{\ln t}dt$.
Pour master MEEF
Exercice 48 - Autour du théorème fondamental du calcul intégral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le théorème fondamental du calcul intégral est le résultat suivant :
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$, et si, pour tout $x\in [a,b]$, on pose
$$F(x)=\int_a^x f(t)dt,$$
alors $F$ est dérivable sur $[a,b]$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in [a,b]$.
- Pourquoi ce théorème est fondamental???
- Dans le programme de Terminale S, il est écrit dans les commentaires "Il est intéressant de présenter le principe de la démonstration du théorème dans le cas où $f$ est positive et croissante". Faire cette démonstration. En quoi les hypothèses $f$ positive et $f$ croissante sont utiles? Pourrait-on s'en passer (au niveau Terminale S)?
- Regarder la preuve de ce théorème dans votre cours de licence, ou dans un livre de math sup. Quel argument fait que l'on ne peut pas prouver le cas général en Terminale S?
Enoncé
Le théorème suivant est très classique :
Soient $a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et positive. Alors
$$\int_a^b f(t)dt=0\implies f=0.$$
- Démontrer ce théorème en procédant par contraposée et en utilisant des "epsilon" pour écrire la définition de la continuité.
- Démontrer ce théorème en utilisant la fonction $F(x)=\int_a^x f(t)dt.$
- Application 1 : Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac 1n>\int_n^{n+1}\frac{dt} t.$$
- Application 2 : On considère $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles. Démontrer que $$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)dt$$ définit un produit scalaire sur $E$.
Exercice 50 - Diverses versions du théorème fondamental [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans votre devoir de révision sur l'intégration de Terminale S, vous avez demandé à vos élèves d'énoncer le théorème fondamental du calcul intégral.
Voici quelques-une de leurs réponses, analysez-les.
- Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$. Alors $F:x\mapsto \int_a^b f(x)dx$ est dérivable sur $]a,b[$ et on a $F'(x)=f(x)$.
- Si $F$ est une fonction définie et de classe $C^1$ sur un segment $[a,b]$, alors, en notant sa dérivée $F'$ définie et continue sur $[a,b]$, $$\int_a^b F'(x)dx=F(b)-F(a).$$
- Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue, soit $a\in I$. Pour tout $x\in I$, il existe une fonction $F:I\to\mathbb R$ telle que $$F(x)=\int_a^x f(t)dt.$$ On dit que $F$ est une primitive de $f$.
- Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I=[a,b]$. Soit $x\in [a,b]$, on note la primitive $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ de $f$. Alors $F'(x)=f(x)$.
- Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et soit $a\in I$. La fonction $F$ qui s'annule en $a$ est définie par pour tout $x\in I$, $F(x)=\int_a^x f(x)dx$. De plus, $F'(x)=f(x)$.
- Soit $(a,b)\in\mathbb R^2$ tel que $a<b$ et soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Alors il existe une fonction $F$ dérivable sur $[a,b]$ et de dérivée $f$. De plus on a $$\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a).$$
- Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors elle admet une primitive $F$ dérivable sur $[a,b]$ telle que $F'=f$.
Enoncé
Dans une copie d'élève, on lit la chose suivante :
Proposition : pour toutes fonctions continues $f,g$ de $[0,1]$ dans $\mathbb R$, on a $\int_0^1 |f(x)-g(x)|dx=\left|\int_0^1 \big(f(x)-g(x)\big)dx\right|$.
Preuve : Si $f(x)\geq g(x)$, alors $f(x)-g(x)\geq 0$. Ainsi, on a $|f(x) - g(x)| = f(x)- g(x)$ et donc $\textstyle \displaystyle\int_0^1 |f(x)-g(x)| \,dx = \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx.$ Cette dernière intégrale est positive, elle est donc égale à sa valeur absolue.
Par contre, si $f(x) \leq g(x)$, alors $f(x)-g(x)\leq 0$. Dans ce cas on a $|f(x) - g(x)| = g(x)- f(x)=-(f(x)-g(x))$ et donc \[ \textstyle\displaystyle \int_0^1 |f(x)-g(x)| \,dx = - \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx. \] L'intégrale de la fonction $f-g$ étant négative, cette quantité est égale à $\left| \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx \right|$. Dans tous les cas, on déduit que $\textstyle \displaystyle\int_0^1 |f(x)-g(x)| \,dx = \left| \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx\right|$.
Démontrer que la proposition est fausse. Où se situe l'erreur dans la démonstration?Preuve : Si $f(x)\geq g(x)$, alors $f(x)-g(x)\geq 0$. Ainsi, on a $|f(x) - g(x)| = f(x)- g(x)$ et donc $\textstyle \displaystyle\int_0^1 |f(x)-g(x)| \,dx = \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx.$ Cette dernière intégrale est positive, elle est donc égale à sa valeur absolue.
Par contre, si $f(x) \leq g(x)$, alors $f(x)-g(x)\leq 0$. Dans ce cas on a $|f(x) - g(x)| = g(x)- f(x)=-(f(x)-g(x))$ et donc \[ \textstyle\displaystyle \int_0^1 |f(x)-g(x)| \,dx = - \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx. \] L'intégrale de la fonction $f-g$ étant négative, cette quantité est égale à $\left| \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx \right|$. Dans tous les cas, on déduit que $\textstyle \displaystyle\int_0^1 |f(x)-g(x)| \,dx = \left| \int_0^1 (f(x)-g(x))\,dx\right|$.