Exercices corrigés -Distributions tempérées

Exercice 1

- Convergence de fonctions tests et convergence dans l'espace de Schwartz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Justifier que si $(\phi_k)$ est une suite de $\mcd(\mtr^d)$ qui converge dans $\mcd(\mtr^d)$ vers $\phi\in\mcd(\mtr^d)$, alors la convergence a aussi lieu dans $\mcs(\mtr^d)$.
Donner une suite de fonctions $(f_n)$ de $\mcd(\mtr)$, qui converge vers 0 dans $\mcs(\mtr)$, mais pas dans $\mcd(\mtr)$.

Indication

Corrigé

Exercice 2

- Tempérée ou pas tempérée? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Démontrer que la distribution associée à $e^t$ n'est pas tempérée. On pourra l'appliquer à $\tau_a\phi$ où $\phi\in\mcd(]-1,1[)$ est positive, non identiquement nulle, et $\tau_a\phi(x)=\phi(x-a)$..
Soit $(a_k)$ une suite de nombres complexes et $T=\sum_{k\in\mtn} a_k\delta_k\in\mcd'(\mtr)$. Montrer que $T\in\mcs'(\mtr)$ si et seulement si il existe $p\geq 1$ et $C\geq 0$ tel que $|a_k|\leq C(1+k)^p$. On pourra appliquer $T$ à la fonction $\tau_k\phi$ où $\phi\in\mcd(]-1,1[)$ satisfait $\phi(0)=1$.

Indication

Corrigé

Exercice 3

- Fonctions à croissance lente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $f:\mtr\to\mtc$ une fonction localement intégrable. On désigne par $S$ la distribution associée à la fonction $f$.

On suppose qu'il existe un entier $p\geq 0$ tel que $$\int_{\mtr}\frac{|f(x)|}{(1+|x|)^p}<+\infty.$$ Montrer que $S$ est tempérée.
1. Calculer $g'(x)$, où $g$ est la fonction $g(x)=x^m \sin(\exp x)$.
2. Montrer que si $S$ est la distribution associée à la fonction $f(x)=x^m\exp(x)\cos(\exp x)$, $m\geq 1$, alors $S$ est tempérée. Que pensez-vous de la réciproque à la question précédente?
1. Soit $\psi\in\mcd(\mtr)$ telle que $\psi=1$ sur $[-1,1]$, $0$ hors de $[-2,2]$, $0\leq\psi\leq 1$. Pour $r\geq 1$, on pose $\phi_r(x)=\psi(x/r)$. Montrer que pour tous $\alpha,k\geq 0$ il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in\mtr$, pour tout $r\geq 1$, on ait $$(1+|x|)^k|\phi_r^{(\alpha)}(x)|\leq C(1+r)^k.$$
2. On suppose désormais que $f$ est positive, et que $S$ est une distribution tempérée. Montrer que la réciproque à la question 1. est vraie.

Indication

Corrigé

Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$. On a : \begin{eqnarray*} |\langle S,\phi\rangle| &\leq& \int_{\mtr}\left|f(x)||\phi(x)\right|dx\\ &\leq&\int_{\mtr}\frac{|f(x)|}{(1+|x|)^p}(1+|x|)^p|\phi(x)|dx\\ &\leq&\left(\int_{\mtr}\frac{|f(x)|}{(1+|x|)^p}dx\right)\|\phi\|_{p}. \end{eqnarray*} Par densité de $\mcd(\mtr)$ dans $\mathcal{S}(\mtr)$, la distribution se prolonge en une fonction continue à $\mathcal{S}(\mtr)$. $S$ est bien une distribution tempérée.
1. Un simple calcul montre que $$$g'(x)=mx^{m-1}\sin(\exp x)+x^m\exp(x)\cos(\exp x).$$
2. Prenons toujours $\phi\in\mcd(\mtr)$. L'astuce est d'écrire $f$ comme la somme de $g$ et d'une autre fonction. Précisément, on a $$\langle S,\phi\rangle =-\int_{\mtr}mx^{m-1}\sin(\exp x)\phi(x)+\int_{\mtr}g'(x)\phi(x)dx.$$ La première partie du membre de droite définit une distribution tempérée (d'après la question précédente). Reste à voir que la deuxième partie en définit une aussi. Par une intégration par parties (licite car $\phi$ est à support compact), on a $$\int_{\mtr}g'(x)\phi(x)dx=-\int_{\mtr}g(x)\phi'(x).$$ Le même raisonnement que précédemment montre que $$\left|\int_{\mtr}g'(x)\phi(x)dx\right|\leq C \|\phi\|_{m+1},$$ ce qui assure encore une fois que la distribution est tempérée. Enfin, montrons que, la fonction $f$ ne vérifie la condition de croissance précédente pour aucun $p$. En effet, si $x$ est dans $[\ln(2n\pi-\pi/4),\ln(2n\pi+\pi/4)]$, avec $n$ assez grand, $f(x)\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(2n\pi-\pi/4)$. Si $p$ est n'importe quel entier, on a donc : $$\int_{\mtr}\frac{f(x)}{(1+|x|)^p}dx\geq C\times \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n}{(\ln n)^p}\times(\ln(2n\pi+\pi/4)-\ln(2n\pi-\pi/4)).$$ On conclut en faisant un dl de la différence des deux logarithmes, qui donne que cette différence est équivalente à $K/n$. Puisque $\sum\frac{1}{(\ln n)^p}=+\infty$, $f$ ne vérifie pas la condition demandée!
1. Remarquons que le support de $\phi_r$ est $[-2r,2r]$. D'autre part, si $x\in[-2r,2r]$, on a : $$(1+|x|)^k|\phi_r^{(\alpha)}(x)|\leq(1+2r)^k\frac{1}{r^\alpha}\|\psi^{(\alpha)}\|_\infty\leq 2^k\|\psi^{(\alpha)}\|_\infty (1+r)^k.$$
2. Si $S$ est une distribution tempérée, puisque $\phi_r=1$ sur l'intervalle $[0,r]$, la question précédente assure qu'il existe $C>0$ et $m\geq 0$ tels que $$\int_0^r f\leq \langle S,\phi_r\rangle\leq C(1+r)^m.$$ Cette inégalité est vraie pour $r\geq 1$. Puisque $f$ est localement intégrable, elle reste vraie pour $r\in[0,1]$, quitte à remplacer $C$ par $C'=\max\left(C,\int_0^1 f\right)$. Reste à prouver que ceci entraîne l'estimation voulue, ce que l'on peut obtenir en réalisant des intégrations par parties. Posons $G(x)=\int_0^x f(t)dt.$ On a $$\int_0^r \frac{f(x)}{(1+x)^p}dx=\frac{\int_0^rf(t)dt}{(1+r)^p}-p\int_0^r \frac{G(t)}{(1+t)^{p+1}}.$$ Du fait de l'estimation sur $G$, cette dernière intégrale converge dès que $p>m+1$.

Exercice 4

- Suite de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $f:\mtr\to\mtc$ une fonction intégrable telle que $\int_{\mtr}f(t)dt=1$. On pose, pour $n\geq 1$, $f_n(t)=nf(nt)$. Montrer que $f_n\to\delta_0$ dans $\mcd'(\mtr)$.
En utilisant le théorème de Weierstrass, déduire de la question précédente qu'il existe une suite de polynômes $(P_n)$ telle que $P_n\to\delta_0$ dans $\mcd'(\mtr)$.
Montrer qu'il n'existe pas une telle suite de polynômes qui converge vers $\delta_0$ dans $\mcs'(\mtr)$ (on pourra raisonner par l'absurde, montrer que le degré des polynômes d'une telle suite tend vers l'infini, et puis...).

Indication

Corrigé

On a, pour tout $\phi\in\mcd(\mtr)$, $$\langle f_n\phi\rangle=\int_{\mtr}f(x)\phi(x/n)dx.$$ Puisque $\phi$ est bornée et $f$ est intégrable, et que pour tout $x$, $\phi(x/n)\to \phi(0)$ quand $n$ va vers l'infini, le théorème de convergence dominée nous dit que $f_n\to\delta_0$ dans $\mcd'(\mtr)$.
On choisit désormais une fonction $f$ continue. Par le théorème de Weierstrass, pour chaque $n$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $|P_n-f_n|\leq 1/n$ sur $[-n,n]$. Montrons que $P_n\to\delta_0$ dans $\mcd'(\mtr)$. Si $\phi\in\mcd(\mtr)$ est à support dans $[-R,R]$, on a en effet, pour $n\geq R$ : $$\left|\langle f_n,\phi\rangle-\langle P_n,\phi\rangle\right|\leq \frac{2R\|\phi\|_\infty}{n}.$$
Supposons l'existence d'une telle suite $(P_n)$, et montrons d'abord que le degré de $P_n$ tend vers l'infini. Si ce n'était pas le cas, on pourrait exhiber une sous-suite de $(P_n)$, que nous notons $(Q_n)$, et un entier $N$ tel que $(Q_n)$ tend vers $\delta_0$ dans $\mcs'(\mtr)$ et $\textrm{deg}(Q_n)\leq N$. Ecrivons $$Q_n(x)=a_{n,N}x^N+\dots+a_{n,1}x+a_{n,0}.$$ Choisissons $\phi\in\mcd(\mtr)$ telle que $$\langle 1,\phi\rangle=\dots=\langle x^{N-1},\phi\rangle=0,\phi(0)=0\textrm{ et }\langle x^N,\phi\rangle\neq 0.$$ Une telle fonction existe, car l'ensemble des fonctions $\psi$ de $\mcd(\mtr)$ vérifiant $\langle x^k,\psi\rangle$ est un hyperplan de $\mcd(\mtr)$, et l'intersection d'un nombre fini d'hyperplans n'est jamais vide en dimension infinie. Mais alors : $$\langle Q_n,\phi\rangle=a_{n,N}\langle x^N,\phi\rangle\to \phi(0)=0.$$ Ceci entraîne que $a_{n,N}\to 0$. De même, on prouve que $a_{n,k}\to 0$ pour chaque $k$ dans $\{0,\dots,N\}$. Mais alors, on a $Q_n\to 0$ dans $\mcd'(\mtr)$, ce qui est impossible!
On peut donc supposer que le degré de $P_n$ tend vers $+\infty$, et même, quitte à extraire, que le degré de $P_n\geq n$. On peut aussi supposer (toujours quitte à extraire), que chaque $P_n$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$. On va alors construire une fonction $\phi\in\mcs'(\mtr)$ pour laquelle il est impossible que $\langle P_n,\phi\rangle\to \phi(0)$. On construit cette fonction étape par étape. Puisque le degré de $P_1$ vaut $1$, il existe un réel $a_1>0$ tel que $x\geq a_1\implies P_1(x)\geq 1$. Posons $b_1=a_1+2$, et définissons $\psi_1$ comme le produit de $1/P_1$ par une fonction plateau à support dans $[a_1,b_1]$, et valant 1 sur $[a_1+1/2,b_1+1/2]$. Remarquons que $$\|\psi_1\|_0\leq 1.$$ Supposons construit $\psi_1,\dots,\psi_{n-1}$, à support dans les intervalles disjoints $[a_k,b_k]$, et expliquons comment construire $\psi_{n}$. Puisque $1/P_n$ est une fraction rationnelle de degré inférieur ou égal à $-n$, et que $(1/P_n)^{(k)}$ est une fraction rationnelle de degré inférieur ou égal à $-n-k$, il existe un réel $a_n>b_{n-1}$ tel que, si $x\geq a_n$, on ait $$\forall k\in\{0,\dots,n-1\}, \left|(1+|x|)^{n-1}(1/P_n)^{(k)}(x)\right|\leq 1.$$ On choisit alors $b_n$ tel que $$(b_n-a_n-1)\geq 1+ \sum_{k\leq n-1}\left|\int_{\mtr}\psi_k(t) P_n(t)dt\right|.$$ On définit alors $\psi_n$ comme le produit de $1/P_n$ par une fonction plateau $\theta$ à support dans $[a_n,b_n]$, et valant $1$ sur $[a_n+1/2,b_n-1/2]$. Remarquons que l'estimation précédente fait que $$\forall k\leq n, \|\psi\|_k\leq 1.$$ On définit enfin $\psi$ comme le "recollement" des $\psi_k$. Chaque $\psi_k$ étant $C^\infty$, et les supports étant disjoints, on a bien que $\psi$ est $C^\infty$. En outre, la propriété précédente assure que $\psi$ est bien dans $\mcs'(\mtr)$. Enfin, pour chaque $n$, on a $$\langle P_n,\psi\rangle =\sum_{k\leq n-1}\int_{\mtr}\psi_k(t) P_n(t)dt+\int_{\mtr}\psi_n(t)P_n(t)dt+\sum_{k>n}\int_{\mtr}\psi_k(t)P_n(t)dt.$$ Comme $P_n$ est positif sur $[a_n,+\infty[$, et que $\psi_k$ est toujours positif, la dernière intégrale est positive. On a aussi $$\int_{\mtr}\psi_n(t)P_n(t)dt\geq \int_{a_n+1/2}^{b_n-1/2}\frac{1}{P_n(t)}P_n(t)dt=b_n-a_n-1.$$ Il vient $$\langle P_n,\psi\rangle \geq 1,$$ alors que $\langle \delta_0,\psi\rangle=0$. La suite $(P_n)$ ne peut pas converger vers $\delta_0$!

Exercices corrigés - Distributions tempérées