Exercices corrigés - Fonctions tests
Dans la suite, $\mathcal D(\mathbb R^d)$ désigne l'espace des fonctions de classe $\mathcal C^\infty$ à support compact.Suite de fonctions tests
Exercice 1 - Convergence dans l'espace des fonctions tests? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$ non identiquement nulle. Pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, on pose $\varphi_n(x)=\frac 1n\varphi(nx)$. Étudier la convergence de la suite $(\varphi_n)$ dans $\mathcal D(\mathbb R)$.
Enoncé
Soit $(f_n)$ la suite de fonctions de $\mcd(\mtr)$ définie par :
$$f_n(t)=\frac{1}{2^n}\exp\left(-\frac{1}{1-|t|^2/n^2}\right)\textrm{ si }|t|< n,\ 0\textrm{ sinon.}$$
Montrer que, pour chaque $k\geq 0$, la suite de fonctions $(f_n^{(k)})$ converge uniformément sur tout compact vers une fonction $g\in\mcd(\mtr)$
que l'on précisera. A-t-on convergence dans $\mcd(\mtr)$?
Enoncé
- Soit $\phi\in\mcd(\mtr^n)$ et $h\in\mtr^n\backslash\{0\}$. Pour $t\in\mtr\backslash\{0\}$ on pose $$\phi_t(x)=\frac{\phi(x+th)-\phi(x)}{t}.$$ Montrer que $\phi_t\in\mcd(\mtr^n)$ pour $t\neq 0$.
- Montrer que lorsque $t$ tend vers 0, $\phi_t$ converge dans $\mcd(\mtr^n)$ vers une fonction que l'on déterminera.
Résultats utiles avec/sur des fonctions tests
Enoncé
Soit $\psi\in\mathcal D(\mathbb R)$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\psi$ pour qu'il existe $\phi\in\mathcal D(\mathbb R)$ avec $\phi'=\psi$.
Exercice 5 - Équation différentielle et fonction test [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\psi\in\mathcal D(\mathbb R)$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\psi$ pour qu'il existe $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$ tel que $\varphi'+\varphi = \psi$.
Exercice 6 - Une sorte de développement de Taylor dans $\mathcal D(\mathbb R)$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi,\theta\in\mathcal D(\mathbb R)$ tel que $\theta(0)=1$. Démontrer qu'il existe $\psi\in\mathcal D(\mathbb R)$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$,
$$\varphi(x)=\varphi(0)\theta(x)+x\psi(x).$$
Exercice 7 - Une fonction test est presque la dérivée d'une fonction test! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi_0\in\mathbb D(\mathbb R)$ telle que $\int_{\mathbb R}\varphi_0(t)dt=1$. Démontrer que, pour tout $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$, il existe un unique couple $(c,\psi)\in\mathbb R\times\mathcal D(\mathbb R)$ tel que
$$\varphi=\psi'+c\varphi_0.$$
Enoncé
Soit $\varphi$ une fonction $\mathcal C^\infty$, à support compact, telle que $\varphi$ est nulle en dehors de $[-1,1]$, et $\int_{-1}^1 \varphi(x)dx=1$.
Le but de l'exercice est de construire à l'aide de $\psi$ une fonction $\mathcal C^\infty$, égale à $1$ sur $[-1/2,1/2]$, et nulle en dehors de $[-1,1]$.
- Construire à partir de $\varphi$ une fonction $\mathcal C^\infty$ $u$ égale à $0$ sur $]-\infty,-1[$ et égale à $1$ sur $[1,+\infty[$.
- En déduire une fonction $v$ égale à $1$ sur $[-1/2,+\infty[$ et nulle sur $]-\infty,-1]$ et une fonction $w$ égale à $1$ sur $]-\infty,1/2[$ et égale à $0$ sur $]1,+\infty[$.
- Construire $\psi$.
Exercice 9 - Fonctions $\mathcal C^\infty$ 1-périodique et somme de fonctions tests [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soit $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$. On pose, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}\varphi(x+n)$. Justifier que $f$ est bien définie, que $f\in\mathcal C^\infty$ et que $f$ est $1$-périodique.
- Réciproquement, on souhaite démontrer que pour toute fonction $f\in\mathcal C^\infty(\mathbb R)$, il existe $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$ telle que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}\varphi(x+n)$. On fixe donc une telle fonction $f$. On rappelle par ailleurs que la fonction
$$g(x)=\begin{cases}
\exp\left(\frac1{x^2-1}\right)&\textrm{ si }|x|<1\\
0&\textrm{ si } |x|\geq 1
\end{cases}$$
est un élément de $\mathcal D(\mathbb R)$.
- On pose $G(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}g(x+n)$. Justifier que $G$ est bien définie, et de classe $\mathcal C^\infty$, est $1$-périodique et ne s'annule pas.
- Pour $x\in\mathbb R$, on pose $h(x)=\frac{g(x)}{G(x)}$. Justifier que $h\in\mathcal D(\mathbb R)$ et que $\sum_{n\in\mathbb Z}h(x+n)=1$.
- En déduire le résultat annoncé.
Enoncé
- Soit $f\in\mcd(\mtr^n)$, $a,b\in\mtr^n$, et $m\geq 0$. Démontrer la formule de Taylor avec reste intégral : $$f(b)=\sum_{|\alpha|\leq m}\frac{(b-a)^\alpha}{\alpha!}\partial^\alpha f(a)+(m+1)\sum_{|\alpha|=m+1}\frac{(b-a)^\alpha} {\alpha !}\int_0^1 (1-t)^m \partial^\alpha f(a+t(b-a))dt.$$
- Soit $f\in \mcd(\mtr^n)$ s'annulant à l'origine. Montrer qu'il existe des fonctions $g_1,\dots,g_n\in\mcd(\mtr^n)$ telles que $$\forall x\in\mtr^n,\ f(x)=x_1g_1(x)+\dots+x_ng_n(x).$$
- Généraliser au cas où $f$ et toutes ses dérivées (partielles) jusqu'à l'ordre $m-1$ s'annulent en $0$.
Enoncé
Soit $(a_n)_{n\in\mtn}$ une suite de nombres complexes. Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe des fonctions
$f:\mtr\to\mtc$ indéfiniment dérivables et telles que
$$\forall n\in\mtn, f^{(n)}(0)=a_n.$$
- En utilisant une fonction $\phi\in\mcd(\mtr)$ égale à 1 dans un voisinage de $0$, résoudre le problème dans le cas où la série entière $\dis \sum_{n\in\mtn}\frac{a_n}{n!}x^n$ a un rayon de convergence non nul.
- Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$ à support inclus dans $[-1,1]$ et égale à 1 sur $[-1/2,1/2]$. On définit une suite $\alpha_n$
par $\alpha_n=1$ si $|a_n|\leq 1$ et $\alpha_n=|a_n|$ sinon. On pose, pour chaque $n\in\mtn$,
$$f_n(x)=\frac{a_n}{n!}x^n \phi(\alpha_nx),\ f(x)=\sum_{n\in\mtn}f_n(x).$$
- Vérifier que la série définissant $f$ converge normalement sur $\mtr$ (on pourra majorer pour chaque $n$ $f_n(x)$ en séparant les cas $|x\alpha _n|\geq 1$ et $|x\alpha_n|<1$).
- Montrer que $f$ est $C^\infty$, et calculer $f^{(k)}(0)$.
- Est-il toujours possible d'obtenir une fonction vérifiant la même propriété si on demande que $f$ soit entière?