$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Analyse vectorielle

Enoncé
  1. Déterminer les coordonnées de $grad\ f$ où $f$ est le champ scalaire suivant :
    1. $f(x,y,z)=xy^2-yz^2$.
    2. $f(x,y,z)=xyz\sin(xy)$.
  2. Déterminer $div f$ où $f$ est le champ de vecteurs suivant :
    1. $f(x,y,z)=(2x^2y,2xy^2,xy)$.
    2. $f(x,y,z)=(\sin(xy),0,\cos(xz))$.
    3. $f(x,y,z)=(x(2y+z),-y(x+z),z(x-2y))$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Passage en coordonnées polaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathcal U\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$ définie sur un ouvert $\mathcal U$ de $\mathbb R^2$. Calculer $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2$ en coordonnées polaires.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Laplacien en coordonnées polaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On rappelle que si $F$ est une fonction de classe $C^2$ de $\mtr^2$ dans $\mtr$, son laplacien est défini par : $$\Delta F=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}.$$ On fait le changement de variables en coordonnées polaires $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$. Donner la nouvelle expression du laplacien par rapport aux variables $r$ et $\theta$ (c'est-à-dire poser $f(r,\theta)=F(r\cos\theta,r\sin\theta)$ et exprimer $\Delta F$ en fonction de $f$, $r$, $\theta$ et des dérivées partielles de $f$).
Indication
Corrigé
Enoncé
On rappelle qu'on dit qu'un champ de vecteurs $F$ dérive d'un potentiel scalaire s'il existe un champ scalaire $f$ tel que $F=grad(f)$. Montrer que les champs suivants dérivent d'un potentiel scalaire, et déterminer tous les potentiels scalaires dont ils dérivent.
  1. $F(x,y,z)=(2xy+z^3,x^2,3xz^2)$, défini sur $\mtr^3$.
  2. $F(x,y)=\left(-\frac{y}{(x-y)^2},\frac{x}{(x-y)^2}\right)$, défini sur $U=\{(x,y)\in\mtr^2, x>y\}$.
Indication
Corrigé