Exercices corrigés - Analyse vectorielle
Enoncé
- Déterminer les coordonnées de $grad\ f$ où $f$ est le champ scalaire suivant :
- $f(x,y,z)=xy^2-yz^2$.
- $f(x,y,z)=xyz\sin(xy)$.
- Déterminer $div f$ où $f$ est le champ de vecteurs suivant :
- $f(x,y,z)=(2x^2y,2xy^2,xy)$.
- $f(x,y,z)=(\sin(xy),0,\cos(xz))$.
- $f(x,y,z)=(x(2y+z),-y(x+z),z(x-2y))$.
Enoncé
Soit $f:\mathcal U\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$ définie sur un ouvert $\mathcal U$ de $\mathbb R^2$.
Calculer $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2$ en coordonnées polaires.
Enoncé
On rappelle que si $F$ est une fonction de classe $C^2$ de $\mtr^2$ dans $\mtr$, son laplacien est défini par :
$$\Delta F=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}.$$
On fait le changement de variables en coordonnées polaires $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$. Donner la nouvelle expression du laplacien par rapport aux variables $r$ et $\theta$ (c'est-à-dire poser $f(r,\theta)=F(r\cos\theta,r\sin\theta)$
et exprimer $\Delta F$ en fonction de $f$, $r$, $\theta$ et des dérivées partielles de $f$).
Enoncé
On rappelle qu'on dit qu'un champ de vecteurs $F$ dérive d'un potentiel scalaire s'il existe un champ scalaire $f$ tel que $F=grad(f)$.
Montrer que les champs suivants dérivent d'un potentiel scalaire, et déterminer tous les potentiels scalaires dont ils dérivent.
- $F(x,y,z)=(2xy+z^3,x^2,3xz^2)$, défini sur $\mtr^3$.
- $F(x,y)=\left(-\frac{y}{(x-y)^2},\frac{x}{(x-y)^2}\right)$, défini sur $U=\{(x,y)\in\mtr^2, x>y\}$.