Exercices corrigés - Espaces vectoriels : combinaisons linéaires, familles libres, génératrices

Les vecteurs $u$ suivants sont-ils combinaison linéaire des vecteurs $u_i$?

$E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$;
$E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$, $u_3=(-4,5)$;
$E=\mathbb R^3$, $u=(2,5,3)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$;
$E=\mathbb R^3$, $u=(3,1,m)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$ (discuter suivant la valeur de $m$).

Exercice 2

- Les bagues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Émile achète pour sa maman une bague contenant 2g d'or, 5g de cuivre et 4g d'argent. Il la paie 6200 euros.
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?

Exercice 3

- Combinaisons linéaires? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Dans l'espace vectoriel $\mathbb R[X]$, le polynôme $P(X)=16X^3-7X^2+21X-4$ est-il combinaison linéaire de $P_1(X)=8X^3-5X^2+1$ et $P_2(X)=X^2+7X-2$?
Dans l'espace vectoriel $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, la fonction $x\mapsto \sin(2x)$ est-elle combinaison linéaire des fonctions $\sin$ et $\cos$?

Exercice 4

- Dans un espace de fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Dans $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, est-ce que la fonction $\arctan$ est combinaison linéaire de $e^{x^2}$, $e^{-x}$ et $\sin$?

Exercice 5

- Pour bien commencer... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Les familles suivantes sont-elles libres dans $\mathbb R^3$ (ou $\mathbb R^4$ pour la dernière famille)?

$(u,v)$ avec $u=(1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$;
$(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,0,1)$;
$(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(-1,2,-3)$;
$(u,v,w,z)$ avec $u=(1,2,3,4)$, $v=(5,6,7,8)$, $w=(9,10,11,12)$ et $z=(13,14,15,16)$.

Exercice 6

- Deux par deux, et par trois? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(4,1,4)$ et $v_3=(2,-1,4)$.

Montrer que la famille $(v_1,v_2)$ est libre. Faire de même pour $(v_1,v_3)$, puis pour $(v_2,v_3)$.
La famille $(v_1,v_2,v_3)$ est-elle libre?

Exercice 7

- Complétion de familles libres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs $$v_1=(1,-1,1),\ v_2=(2,-2,2),\ v_3=(2,-1,2).$$

Peut-on trouver un vecteur $w$ tel que $(v_1,v_2,w)$ soit libre? Si oui, construisez-en un.
Même question en remplaçant $v_2$ par $v_3$.

Exercice 8

- Polynômes à degrés échelonnés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb C[X]$ non nuls, à degrés échelonnés, c'est-à-dire $\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Montrer que $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.

Exercice 9

- Avec des fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Étudier l'indépendance linéaire des familles suivantes :

$(\sin x,\cos x)$;
$(\sin 2x,\sin x,\cos x)$;
$(\cos 2x,\sin^2 x,\cos^2 x)$;
$(x,e^x,\sin(x))$.

Exercice 10

- Familles de fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Démontrer que les familles suivantes sont libres dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$:

$(x\mapsto e^{ax})_{a\in\mathbb R}$;
$(x\mapsto |x-a|)_{a\in\mathbb R}$;
$(x\mapsto \cos(ax))_{a>0}$;
$(x\mapsto (\sin x)^n)_{n\geq 1}$.

Soient $a_1<a_2<\dots<a_p$, où $p$ est arbitraire. Il suffit de montrer que $(e^{a_1x},\dots, e^{a_px})$ est une famille libre. Considérons une relation de liaison $\lambda_1 e^{a_1 x}+\dots+\lambda_p e^{a_px}$. On factorise par le terme dominant, c'est-à-dire $e^{a_px}$. On obtient $$e^{a_p x}(\lambda_p+\lambda_{p-1}e^{(a_{p-1}-a_p)x}+\dots+\lambda_1e^{(a_1-a_p)x})=0,\ \forall x\in\mathbb R.$$ On simplifie par $e^{a_p x}$, qui ne s'annule jamais, et on fait tendre $x$ vers $+\infty$. Puisque $e^{(a_j-a_p)x}$ tend vers $0$ pour $j<p$, le membre de gauche converge vers $\lambda_p$ qui vaut donc 0. On répète le procédé en factorisant ensuite par $e^{a_{p-1}x}$ pour prouver que $\lambda_{p-1}=0$, et on obtient successivement que $\lambda_p,\lambda_{p-1},\dots$ et finalement $\lambda_1$ sont nuls (on peut aussi effectuer une récurrence). La famille est donc effectivement libre. Avec le même type de raisonnement (mais c'est plus dur d'ordonner les couples), on pourra prouver que la famille $(x^a(\ln x)^b)_{a,b\in\mathbb R}$ est libre.
Soient $a_1<a_2<\dots<a_p$, où $p$ est arbitraire. Il suffit de montrer que $(x\mapsto |x-a_1|,\dots, x\mapsto |x-a_p|)$ est une famille libre. Considérons une relation de liaison, c'est-à-dire supposons que $\lambda_1 |x-a_1|+\dots+\lambda_p |x-a_p|=0$ pour tout $x\in\mathbb R$. Soit $k$ dans $\{1,\dots,p\}$ et réécrivons la relation sous la forme $$\lambda_k |x-a_k|=-\sum_{j\neq k}\lambda_j |x-a_j|:=g_k(x).$$ Alors, la fonction $g_k$ est dérivable en $a_k$, car chaque fonction $x\mapsto |x-a_j|$, $j\neq k$ est dérivable en $a_k$ (au voisinage de $a_k$, elle est égale à une fonction affine). Il en est donc de même de $x\mapsto \lambda_k |x-a_k|$. Ceci n'est possible que si $\lambda_k=0$.
On va démontrer par récurrence sur $N$ que toute famille $\big(\cos(a_1 x),\dots,\cos(a_N x)\big)$ avec $0<a_1<a_2<\dots<a_N$ est libre. C'est le cas pour $N=1$ ($\cos(ax)$ n'est jamais la fonction nulle). Supposons le résultat vrai au rang $N-1$, et prouvons-le au rang $N$ en écrivant une relation de liaison : $$\lambda_1\cos(a_1x)+\dots+\lambda_N\cos(a_Nx)=0.$$ On dérive deux fois et on trouve $$a_1^2\lambda_1\cos(a_1x)+\dots+a_N^2\lambda_N\cos(a_Nx)=0.$$ En retranchant $a_N^2$ fois la première équation à la deuxième, on trouve $$(a_1^2-a_N^2)\lambda_1\cos(a_1x)+\dots+(a_{N-1}^2-a_{N}^2)\lambda_{N-1}\cos(a_{N-1}x)=0.$$ Par hypothèse de récurrence, on a $(a_j^2-a_N^2)\lambda_j=0$ pour tout $j=1,\dots,N-1$, soit finalement $\lambda_j=0$ puisque $a_j^2\neq a_N^2$. De retour à l'équation initiale, on retrouve aussi $\lambda_N=0$, ce qui prouve bien que la famille est libre.
Soit $N\geq 1$. Il suffit de prouver que la famille $(x\mapsto (\sin x)^n)_{1\leq n\leq N}$ est libre. Considérons des scalaires $\lambda_1,\dots,\lambda_N$ tels que $$\lambda_1\sin x+\dots+\lambda_N (\sin x)^N=0.$$ On rappelle que $\frac{\sin x}{x}\to 1$ si $x\to 0$, et par conséquent, si $k\geq 2$, on a $(\sin x)^k/x\to 0$ si $x\to 0$. Reprenons l'équation précédente et divisons par $x$ pour $x\neq 0$. On a $$\lambda_1\frac{\sin x}x+\lambda_2\frac{\sin^2 x}x+\dots+\lambda_N\frac{ (\sin x)^N}x=0.$$ Faisons tendre $x$ vers $0$. Le membre de gauche tend vers $\lambda_1$, celui de droite vers $0$ et on obtient donc $$\lambda_1=0.$$ Il suffit ensuite d'itérer le raisonnement en divisant successivement par $x^2,x^3,\dots$, ou bien de faire une récurrence en simplifiant par $\sin x$.
Une autre méthode, peut-être plus simple, consiste à considérer le polynôme $$P(X)=\lambda_1 X+\cdots+\lambda_N X^n$$ et de remarquer que, pour tout $x\in \mathbb R$, $P(\sin x)=0$. Ainsi, $P$ admet une infinite de racines, et donc $P$ est le polynôme nul.

Exercice 11

- A partir d'une famille libre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Dans $\mathbb R^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres?

$(e_1,2e_2,e_3)$;
$(e_1,e_3)$;
$(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$;
$(2e_1+e_2,e_1-2e_2,e_4,7e_1-4e_2)$.

Exercice 12

- Opération [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $E$ un espace vectoriel et $u_1,\dots,u_n\in E$. Pour $k=1,\dots,n$, on pose $v_k=u_1+\cdots+u_k$. Démontrer que la famille $(u_1,\dots,u_n)$ est libre si et seulement si la famille $(v_1,\dots,v_n)$ est libre.

Exercice 13

- Opération [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille libre d'un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$. Pour $k=1,\dots,n-1$, on pose $w_k=v_k+v_{k+1}$ et $w_n=v_n+v_1$. Etudier l'indépendance linéaire de la famille $(w_1,\dots,w_n)$.