Exercices corrigés - Dimension finie : exercices théoriques
Dimension finie et sous-espaces
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^5$ de dimension 3.
Montrer que $F\cap G\neq\{0\}$.
Exercice 2 - Autour du théorème des quatre dimensions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $F$ et $G$ deux sevs
de $E$. Montrer que deux quelconques des trois propriétés suivantes entraînent la troisième :
- $F\cap G=\{0\}$;
- $F+G=E$;
- $\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)$.
Exercice 3 - Une caractérisation de la dimension [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension $n\geq 1$ et soit $\mathcal S$ l'ensemble des sous-espaces
vectoriels de $E$. Soit $d:\mathcal S\to\mathbb N$ vérifiant les propriétés suivantes :
- Si $F,F'\in\mathcal S$ sont tels que $F\cap F'=\{0\}$, alors $d(F+F')=d(F)+d(F')$;
- $d(E)=n$.
- Soient $F,G\in\mathcal S$ avec $\dim(F)=\dim(G)=1$. Démontrer que $d(F)=d(G)$.
- En déduire que, pour tout $F\in\mathcal S$, $d(F)=\dim(F)$.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$, et $F$, $G$ deux sous-espaces
vectoriels de $E$ de même dimension $p<n$. Montrer que $F$ et $G$ ont un supplémentaire commun,
c'est-à-dire qu'il existe un sous-espace $H$ de $E$ tel que $F\oplus H=G\oplus H=E$.
Dimension finie et applications linéaires
Exercice 5 - Endomorphisme de $\mathbb R[X]$ qui préserve le degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi$ un endomorphisme de $\mathbb R[X]$ qui préserve le degré. Démontrer que $\phi$ est bijectif (par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$).
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal L(E)$.
On suppose que, pour tout $x\in E$, il existe un entier $n_x\in\mathbb N$ tel
que $f^{n_x}(x)=0.$ Montrer qu'il existe un entier $n$ tel que $f^n=0$.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$.
- Montrer que $$\ker(f)=\ker(f^2)\iff \textrm{Im}f\cap\ker(f)=\{0\}.$$
- On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que $$\ker(f)=\ker(f^2)\iff \textrm{Im}f\oplus \ker(f)=E\iff \textrm{Im}(f)=\textrm{Im}(f^2).$$
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.
Montrer qu'il existe $f\in\mathcal L(E)$ tel que $\ker(f)=\textrm{Im}(f)$
si et seulement si $E$ est de dimension paire.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p$,
$G$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $q$. Donner une condition nécessaire
et suffisante pour qu'il existe un endormorphisme $f$ de $E$ avec $\ker(f)=F$ et $\textrm{Im}(f)=G$.
Exercice 10 - Endomorphisme de rang $r$ et endomorphismes de rang $1$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie et soit $f\in\mathcal L(E,F)$. Démontrer que $f$ est la somme de $r$ applications linéaires de rang $1$.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soient $F$, $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
- A quelle condition sur $F$ et $G$ existe-t-il un endomorphisme $f$ de $E$ tel que $f(F)=G$?
- Quelle(s) condition(s) supplémentaire(s) faut-il imposer pour qu'on puisse trouver un tel endomorphisme $f$ qui soit de plus bijectif?
Enoncé
Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$
de dimension finie $n$.
- Montrer que $$|\textrm{rg}(u)-\textrm{rg}(v)|\leq \textrm{rg}(u+v)\leq \textrm{rg}(u)+\textrm{rg}(v).$$
- On suppose que $u\circ v=0$ et que $u+v$ est inversible. Prouver que $\textrm{rg}(u)+\textrm{rg}(v)=n$.
Enoncé
Soient $E_0,\dots,E_n$ des espaces vectoriels de dimensions finies respectivement égales à $a_0,\dots,a_n$.
On suppose qu'il existe $n$ applications linéaires $f_0,\dots,f_{n-1}$ telles que, pour chaque $k\in\{0,\dots,n-1\}$,
$f_k$ est une application linéaire de $E_k$ dans $E_{k+1}$ et
- $f_0$ est injective;
- $\ker(f_k)=\textrm{Im}(f_{k-1})$ pour tout $k=1,\dots,n-1$;
- $f_{n-1}$ est surjective.
Exercice 14 - Base donnée par un endomorphisme nilpotent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $f\in\mathcal L(E)$ un opérateur
tel que $f^n=0$ et $f^{n-1}\neq 0$.
- Soit $x\in E$ tel que $f^{n-1}(x)\neq 0$. Montrer que la famille $(x,f(x),\dots,f^{n-1}(x))$ est une base de $E$.
- Soit $g\in\mathcal L(E)$. Montrer que $g$ commute avec $f$ (ie $fg=gf$) si et seulement si $g\in\textrm{vect}(Id,f,\dots,f^{n-1})$.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et soit $f\in\mathcal L(E)$.
- Soit $k\geq 1$. Démontrer que $\ker(f^{k})\subset \ker(f^{k+1})$ et $\textrm{Im}(f^{k+1})\subset \textrm{Im}(f^k).$
-
- Démontrer que si $\ker(f^k)=\ker(f^{k+1})$, alors $\ker(f^{k+1})= \ker(f^{k+2})$.
- Démontrer qu'il existe $p\in\mathbb N$ tel que
- si $k<p$, alors $\ker(f^k)\neq \ker(f^{k+1})$;
- si $k\geq p$, alors $\ker(f^k)= \ker(f^{k+1})$.
- Démontrer que $p\leq n$;
- Démontrer que si $k<p$, alors $\textrm{Im}(f^k)\neq \textrm{Im}(f^{k+1})$ et si $k\geq p$, alors $\textrm{Im}(f^k)=\textrm{Im}(f^{k+1})$.
- Démontrer que $\ker(f^p)$ et $\textrm{Im}(f^p)$ sont supplémentaires.
- Démontrer qu'il existe deux sous-espaces $F$ et $G$ de $E$ tels que $F$ et $G$ sont supplémentaires, $f_{|F}$ est nilpotent et $f_{|G}$ induit un automorphisme de $G$.
- Soit $d_k=\dim\big(\textrm{Im}(f^k)\big)$. Montrer que la suite $(d_k-d_{k+1})$ est décroissante.
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in\mathcal L(E)$. Montrer que
$$\textrm{rg}(f+g)=\textrm{rg}(f)+\textrm{rg}(g)\iff\left\{
\begin{array}{l}
\textrm{Im}(f)\cap\textrm{Im}(g)=\{0\}\\
\ker(f)+\ker(g)=E
\end{array}\right.$$