$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Applications linéaires : exercices pratiques

Exemples d'applications linéaires
Exercice 1 - Applications linéaires ou non? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires :
  1. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,0)$;
  2. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,1)$;
  3. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto x^2-y^2$;
  4. $f:\mathbb R[X]\to \mathbb R^2,\ P\mapsto \big(P(0),P'(1)\big)$.
Indication
Corrigé
Applications linéaires sur $\mathbb R^n$
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ l'application linéaire définie par $$f(x,y)=(x+y,x-y,x+y).$$ Déterminer le noyau de $f$, son image. $f$ est-elle injective? surjective?
Corrigé
Enoncé
On considère l'application linéaire $f$ de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^4$ définie par $$f(x,y,z)=(x+z,y-x,z+y,x+y+2z).$$
  1. Déterminer une base de $\textrm{Im}(f)$.
  2. Déterminer une base de $\ker(f)$.
  3. L'application $f$ est-elle injective? surjective?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Application linéaire donnée par l'image d'une base [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^3$. On note ${\cal B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canonique de $E$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ défini par la donnée des images des vecteurs de la base : $$u(e_1) = -2e_1 +2e_3 \; , u(e_2)=3e_2 \; , u(e_3)=-4e_1 + 4e_3.$$
  1. Déterminer une base de $\ker~u$. $u$ est-il injectif? peut-il être surjectif? Pourquoi?
  2. Déterminer une base de $\textrm{Im}~u$. Quel est le rang de u ?
  3. Montrer que $E=\ker~u\bigoplus \textrm{Im}~u$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^2$ les trois vecteurs $u=(1,1)$, $v=(2,-1)$ et $w=(1,4)$.
  1. Démontrer que $(u,v)$ est une base de $\mathbb R^2$.
  2. Pour quelle(s) valeur(s) du réel $a$ existe-t-il une application linéaire $f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ telle que $f(u)=(2,1)$, $f(v)=(1,-1)$ et $f(w)=(5,a)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$ et $F=\mathbb R^2$. On considère $H=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x=y=z=t\}$. Existe-t-il des applications linéaires de $E$ dans $F$ dont le noyau est $H$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$ engendré par les vecteurs $u=(1,0,0)$ et $v=(1,1,1)$. Trouver un endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont le noyau est $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Application linéaire à contraintes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer qu'il existe un unique endomorphisme $f$ de $\mathbb R^4$ tel que, si $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ désigne la base canonique, alors on a
  1. $f(e_1)=e_1-e_2+e_3$ et $f(2e_1+3e_4)=e_2$.
  2. $\ker(f)=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4,\ x+2y+z=0\textrm{ et }x+3y-t=0\}.$
Indication
Corrigé
Projections, symétries, affinités
Exercice 9 - Projection ou symétrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'application linéaire $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ définie par $f(x,y,z)=(2x-2z,y,x-z)$. $f$ est-elle une symétrie? une projection? Déterminer une base de ses éléments caractéristiques.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ l'application linéaire donnée par $f(x,y,z)=(-x-2y,-2x-y,2x+2y+z)$. Démontrer que $f$ est une affinité dont on précisera les éléments caractéristiques.
Indication
Corrigé
Applications linéaires sur d'autres espaces
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^{\infty}(\mathbb R)$ et $\phi\in\mathcal L(E)$ définie par $\phi(f)=f'$. Quel est le noyau de $\phi$? Quelle est son image? $\phi$ est-elle injective? surjective?
Corrigé
Enoncé
Montrer que $f:\mathbb R[X]\to\mathbb R[X],\ P\mapsto P-XP'$ est une application linéaire. Déterminer son noyau et son image.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Application linéaire définie sur un espace de polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb C[X]$, $p$ un entiel naturel et $f$ l'application de $E$ dans $E$ définie par $f(P)=(1-pX)P+X^2P'$. $f$ est-elle injective? surjective?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Applications linéaires dans un espace de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_3[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3. On définit $u$ l'application de $E$ dans lui-même par $$u(P)=P+(1-X)P'.$$
  1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Déterminer une base de $\textrm{Im}(u)$.
  3. Déterminer une base de $\ker(u)$.
  4. Montrer que $\ker(u)$ et $\textrm{Im}(u)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Différence de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$, $E=\mathbb R_n[X]$ et $\phi\in\mathcal L(E)$ défini par $\phi(P)=P(X+1)-P(X)$. Déterminer le noyau et l'image de $\phi$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soit $f$ l'application définie sur $E$ par $f(P)=P(X+1)+P(X-1)-2P(X)$.
  1. Vérifier que $f$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Pour $p=0,\dots,n$, déterminer le degré de $f(X^p)$? En déduire $\ker(f)$ et $\textrm{Im}(f)$.
  3. Soit $Q$ un polynôme de $\textrm{Im} f$. Démontrer qu'il existe un unique polynôme $P$ tel que $f(P)=Q$ et $P(0)=P'(0)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Polynôme somme de polynômes dérivés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, pour tout $P\in\mathbb R_n[X]$, il existe un unique $Q\in\mathbb R_n[X]$ tel que $P=\sum_{k=0}^n Q^{(k)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soient $A,B$ deux polynômes de degré $n+1$. On définit l'application $\phi:E\to E$ qui à un polynôme $P$ associe le reste de $AP$ dans la division euclidienne par $B$.
  1. Démontrer que $\phi$ est linéaire;
  2. Démontrer que $\phi$ est bijective si et seulement si $A$ et $B$ sont premiers entre eux.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Application aux polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est l'étude de l'application $\Delta$ définie sur $\mtr[X]$ par $(\Delta P)(X)=P(X+1)-P(X)$.
  1. Question préliminaire : Soit $(P_n)$ une famille de $\mtr[X]$ telle que pour chaque $n$, $\deg(P_n)=n$. Prouver que $(P_n)$ est une base de $\mtr[X]$.
  2. Montrer que $\Delta$ est une application linéaire. Calculer son noyau et son image.
  3. Montrer qu'il existe une unique famille $(H_n)_{n\in\mtn}$ de $\mtr[X]$ telle que $H_0=1$, $\Delta(H_n)=H_{n-1}$, et $H_n(0)=0$. Montrer que $(H_n)$ est une base de $\mtr[X]$.
  4. Soit $P\in\mtr_p[X]$. Montrer que $P$ peut s'écrire $$P=\sum_{n=0}^p (\Delta^nP)(0)H_n.$$
  5. Montrer que l'on a $(\Delta^n P)(0)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom nk P(k)$.
  6. Montrer que pour tout $n$, $H_n=\frac{X(X-1)\dots (X-n+1)}{n!}$.
  7. En déduire que, pour tout polynôme $P$ de degré $p$, les assertions suivantes sont équivalentes :
    1. $P$ prend des valeurs entières sur $\mtz$.
    2. $P$ prend des valeurs entières sur $\{0,\dots,p\}$.
    3. Les coordonnées de $P$ dans la base $(H_n)$ sont des entiers.
    4. $P$ prend des valeurs entières sur $p+1$ entiers consécutifs.
Indication
Corrigé