$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Espaces préhilbertiens complexes, espaces hermitiens

Exercice 1 - Polynômes sur le cercle unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une application $\phi:\mathbb C[X]\to\mathbb C[X]$ par $$\phi(P,Q)=\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{P(e^{i\theta})}Q(e^{i\theta})d\theta.$$
  1. Démontrer que $\phi$ définit un produit scalaire hermitien sur $\mathbb C[X]$.
  2. Démontrer que la famille $(X^k)_{k\in\mathbb N}$ est une base orthonormée pour le produit scalaire précédent.
  3. Soit $Q=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0$. Calculer $\|Q\|^2$.
  4. On pose $M=\sup_{|z|=1}|Q(z)|$. Démontrer que $M\geq 1$ et étudier les cas d'égalité.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Image orthogonale au vecteur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien complexe et soit $u\in\mathcal L(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, $\langle u(x),x\rangle=0$. Démontrer que $u=0$. Le résultat subsiste-t-il si $E$ est un espace préhilbertien réel?
Indication
Corrigé