$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Espaces euclidiens : produit scalaire, norme, inégalité de Cauchy-Schwarz

Produit scalaire, orthogonalité
Exercice 1 - Produits scalaires sur $\mathbb R^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les applications suivantes définissent-elles un produit scalaires sur $\mathbb R^2$?
  1. $\varphi_1\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)=\sqrt{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2}$;
  2. $\varphi_2\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)=4x_1y_1-x_2y_2$;
  3. $\varphi_3\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)=x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+10x_2y_2$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Produit scalaire et matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on définit $$\langle A,B\rangle=\textrm{tr}(A^T B).$$
  1. Démontrer que cette formule définit un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  2. En déduire que, pour tous $A,B\in\mathcal S_n(\mathbb R)$, on a $$\big(\textrm{tr}(AB))^2\leq \textrm{tr}(A^2)\textrm{tr}(B^2).$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Un produit scalaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et soit $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts deux à deux. Montrer que l'application $\varphi:\mathbb R_n[X]\to\mathbb R_n[X]$ définie par $\varphi(P,Q)=\sum_{i=0}^n P(a_i)Q(a_i)$ définit un produit scalaire sur $\mathbb R_n[X]$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Des exemples de produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires sur l'espace vectoriel associé :
  1. $\langle f,g\rangle=f(0)g(0)+\int_0^1 f'(t)g'(t)dt$ sur $E=\mathcal C^1([0,1],\mathbb R)$;
  2. $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)w(t)dt$ sur $E=\mathcal C([a,b],\mathbb R)$ où $w\in E$ satisfait $w>0$ sur $]a,b[$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - CNS pour avoir un produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a$ et $b$ des réels et $\varphi:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ définie par $$\varphi\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)=x_1y_1+4x_1y_2+bx_2y_1+ax_2y_2.$$ Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels $a$ et $b$ pour que $\varphi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - CNS pour avoir un produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $a\in E$ un vecteur unitaire et $k\in\mathbb R$. On définit $\phi:E\times E\to\mathbb R$ par $$\phi(x,y)=\langle x,y\rangle+k\langle x,a\rangle\langle y,a\rangle.$$ Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $k$ pour que $\phi$ soit un produit scalaire.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - CNS pour avoir un produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b,c,d\in\mathbb R$. Pour $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$, on pose $$\phi(u,v)=axx'+bxy'+cx'y+dyy'.$$ Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $a,b,c,d$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Un produit scalaire sur les fonctions continues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1])$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb R$, et soit $a=(a_n)$ une suite de $[0,1]$. On pose, pour $f,g\in E$, $$\phi(f,g)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^n}f(a_n)g(a_n).$$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $E$.
Indication
Corrigé
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Exercice 9 - Quand une inégalité en implique une autre... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y,z$ trois réels tels que $2x^2+y^2+5z^2\leq 1$. Démontrer que $(x+y+z)^2\leq\frac {17}{10}.$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Applications de l'inégalité de Cauchy-Schwarz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x_1,\dots,x_n\in\mathbb R^n$.
  1. Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leq n\sum_{k=1}^n x_k^2$$ et étudier les cas d'égalité.
  2. On suppose en outre que $x_k>0$ pour chaque $k\in\{1,\dots,n\}$ et que $x_1+\dots+x_n=1$. Démontrer que $$\sum_{k=1}^n \frac 1{x_k}\geq n^2$$ et étudier les cas d'égalité.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature de la série de terme général $u_n=\frac{1}{n^2(\sqrt 2)^n}\sum_{k=0}^n \sqrt{\binom nk}$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Un calcul de borne inférieure [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([a,b],\mathbb R_+^*)$. Déterminer $\inf_{f\in E}\left(\int_a^b f\times \int_a^b \frac 1f\right)$. Cette borne inférieure est-elle atteinte?
Indication
Corrigé
Norme
Exercice 13 - Stricte convexité de la boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien et soit $B=\{x\in E;\ \|x\|\leq 1\}$. Démontrer que $B$ est strictement convexe, c'est-à-dire que, pour tous $x,y\in B$, $x\neq y$ et tout $t\in ]0,1[$, $\|tx+(1-t)y\|<1$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Sur l'identité du parallélogramme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Il est bien connu que si $E$ est un espace préhilbertien muni de la norme $\|.\|$, alors l'identité de la médiane (ou du parallélogramme) est vérifiée, à savoir : pour tous $x,y$ de $E$, on a : $$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2.$$ L'objectif de cet exercice est de montrer une sorte de réciproque à cette propriété, à savoir le résultat suivant : si $E$ est un espace vectoriel normé réel dont la norme vérifie l'identité de la médiane, alors $E$ est nécessairement un espace préhilbertien, c'est-à-dire qu'il existe un produit scalaire $(.,.)$ sur $E$ tel que pour tout $x$ de $E$, on a $(x,x)=\|x\|^2$. Il s'agit donc de construire un produit scalaire, et compte tenu des formules de polarisation, on pose : $$(x,y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).$$ Il reste à vérifier que l'on a bien défini ainsi un produit scalaire.
  1. Montrer que pour tout $x,y$ de $E$, on a $(x,y)=(y,x)$ et $(x,x)=\|x\|^2$.
  2. Montrer que pour $x_1,\ x_2,\ y\in E$, on a $(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y)=0$ (on utilisera l'identité de la médiane avec les paires $(x_1+y,x_2+y)$ et $(x_1-y,x_2-y)$).
  3. Montrer, en utilisant la question précédente,que si $x,y\in E$ et $r\in\mtq$, on a $(rx,y)=r(x,y)$. En utilisant un argument de continuité, montrer que c'est encore vrai pour $r\in\mtr$.
  4. Conclure!
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(E,\langle.\rangle)$ un espace préhilbertien réel, $\|.\|$ la norme associée au produit scalaire, $u_1,\dots,u_n$ des éléments de $E$ et $C>0$. On suppose que : $$\forall (\veps_1,\dots,\veps_n)\in\{-1,1\}^n,\ \left\|\sum_{i=1}^n \veps_iu_i\right\|\leq C.$$ Montrer que $\sum_{i=1}^n \|u_i\|^2\leq C^2.$
Indication
Corrigé
Géométrie
Exercice 16 - Les bissectrices sont concourantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer que, dans un triangle $ABC$, les trois bissectrices intérieures sont concourantes et que le point d'intersection est le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. Pour cela, on considère $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension égale à $2$, $D$ et $D'$ deux droites distinctes de $E$, $u$ et $v$ des vecteurs directeurs unitaires de respectivement $D$ et $D'$. On pose $w_1=u+v$ et $w_2=u-v$, $D_1$ la droite dirigée par $w_1$ et $D_2$ la droite dirigée par $w_2$.
  1. Démontrer que $\langle u,v\rangle\in ]-1,1[$.
  2. Démontrer que $D_1=D_2^{\perp}$.
  3. Soit $x=\alpha u+\beta v$ un vecteur de $E$. Calculer $d(x,D)^2$ et $d(x,D')^2$ en fonction de $\alpha,\beta,u$ et $v$.
  4. Démontrer que $d(x,D)=d(x,D')\iff x\in D_1\cup D_2$.
  5. On suppose que $x$ est non nul. Démontrer que $x\in D_1$ si et seulement si $\cos\big(\widehat{(u,x)}\big)=\cos\big(\widehat{(v,x)}\big).$
  6. En déduire le résultat annoncé au début de l'exercice.
Indication
Corrigé