$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Espaces euclidiens : orthogonalité, projections orthogonales, polynômes orthogonaux

Orthogonalité
Exercice 1 - Une condition nécessaire et suffisante d'orthogonalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $x,y$ deux éléments de $E$. Montrer que $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si $\|x+\lambda y\|\geq \|x\|$ pour tout $\lambda\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Relations usuelles sur les orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. Démontrer les relations suivantes :
  1. $A\subset B\implies B^\perp\subset A^\perp$.
  2. $(A\cup B)^\perp=A^\perp\cap B^\perp$.
  3. $A^\perp=\textrm{vect}(A)^\perp$;
  4. $\textrm{vect}(A)\subset A^{\perp\perp}$.
  5. On suppose de plus que $E$ est de dimension finie. Démontrer que $\textrm{vect}(A)= A^{\perp\perp}$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Orthogonal, somme et intersection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien $E$. Montrer que : $$(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp.$$ $$F^\perp+G^\perp\subset (F\cap G)^\perp.$$ Que se passe-t-il en dimension finie?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Hyperplan des espaces euclidiens [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. On rappelle qu'un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$. On note $G$ l'espace vectoriel des applications linéaires de $E$ dans $\mathbb R$ (c'est-à-dire des formes linéaires).
  1. Soit $a\neq 0_E$. Démontrer que $H_a=\{x\in E;\ \langle a,x\rangle=0\}$ est un hyperplan de $E$.
  2. Soit $H$ un hyperplan de $E$. Démontrer qu'il existe $a\in E,\ a\neq 0$, tel que $H=H_a$.
  3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b\neq 0_E$ pour que $H_a=H_b$.
  4. Pour $a\in E$, on note $\varphi_a(x)=\langle a,x\rangle$, de sorte que $\varphi_a\in G$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\varphi_a=\varphi_b$.
  5. En déduire que l'application de $E$ dans $G$ définie par $a\mapsto \varphi_a$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
  6. Application : démontrer qu'il existe un unique polynôme $H_n\in\mathbb R_n[X]$ tel que, pour tout $P\in\mathbb R_n[X]$, on a $\int_0^1 H_n(t)P(t)dt=5P''(7)-3P'(2)+2P(\pi)$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Pas de supplémentaire orthogonal! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère $E=C([0,1],\mtr)$ muni du produit scalaire $(f,g)=\int_0^1 f(t)g(t)dt.$ Soit $F=\{f\in E,\ f(0)=0\}$. Montrer que $F^\perp=\{0\}$. En déduire que $F$ n'admet pas de supplémentaire orthogonal.
Indication
Corrigé
Bases orthonormales
Exercice 6 - Orthonormalisation de Schmidt [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^3$ muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser en suivant le procédé de Schmidt la base suivante : $$u=(1,0,1),\ v=(1,1,1),\ w=(-1,-1,0).$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Trouver une base orthonormale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une base orthonormale de $\mathbb R_2[X]$ muni du produit scalaire $$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Une caractérisation des bases orthonormales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $(e_1,\dots,e_n)$ une famille de $n$ vecteurs de $E$ de norme 1 tels que, pour tout $x\in E$, on a $$\|x\|^2=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle^2.$$ Démontrer que $E$ est de dimension $n$ et que $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien, $f\in\mathcal L(E)$ et $\lambda>0$. On dit que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|=\lambda \|x\|$.
  1. Question préliminaire : soient $u,v\in E$ tels que $u+v\perp u-v$. Démontrer que $\|u\|=\|v\|$.
  2. Démontrer que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si et seulement si, pour tous $x,y\in E$, $\langle f(x),f(y)\rangle =\lambda^2 \langle x,y\rangle.$
  3. On souhaite prouver que $f$ est une similitude si et seulement $f$ est non-nulle et conserve l'orthogonalité : pour tout couple $(x,y)\in E$, si $x\perp y$, alors $f(x)\perp f(y)$.
    1. Prouver le sens direct.
    2. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $E$. Démontrer que, pour tout couple $(i,j)$, $\|f(e_i)\|=\|f(e_j)\|$.
    3. Démontrer le sens réciproque.
Indication
Corrigé
Projections orthogonales, calcul de distances
Exercice 10 - Projection orthogonale dans $\mathbb R^4$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$ muni de son produit scalaire canonique et de la base canonique $\mathcal B=(e_1,e_2,e_3,e_4)$. On considère $G$ le sous-espace vectoriel défini par les équations $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2&=&0\\ x_3+x_4&=&0. \end{array} \right. $$
  1. Déterminer une base orthonormale de $G$.
  2. Déterminer la matrice dans $\mathcal B$ de la projection orthogonale $p_G$ sur $G$.
  3. Soit $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ un élément de $E$. Déterminer la distance de $x$ à $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Projection orthogonale donnée par sa matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $p\in\mathcal L(E)$ dont la matrice dans la base canonique est $$A=\frac 16\left( \begin{array}{ccc} 5&-2&1\\ -2&2&2\\ 1&2&5 \end{array}\right).$$ Démontrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera l'équation. Déterminer la distance de $(1,1,1)$ à ce plan.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Distance à un hyperplan affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique, déterminer la distance de $M(3,4,5)$ au plan $\mathcal P$ d'équation $2x+y-z+2=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Projection dans un espace de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal M_2(\mathbb R)$ que l'on munit du produit scalaire $$\langle M,N\rangle=\textrm{Tr}(M^TN).$$ On pose $F=\left\{\begin{pmatrix} a&b\\ -b&a \end{pmatrix};\ (a,b)\in\mathbb R^2\right\}.$
  1. Déterminer une base orthonormée de $F^\perp$.
  2. Calculer la projection de $J=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}$ sur $F^\perp$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Base orthonormale, polynômes et projection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mtr_3[X]$ muni du produit scalaire suivant : $$(a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3,b_0+b_1X+b_2X^2+b_3X^3)=a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$ On pose $H$ l'hyperplan $H=\{P\in E;\ P(1)=0\}$.
  1. Déterminer une base de $H$.
  2. Déterminer une base orthonormale de $H$.
  3. En déduire la projection orthogonale de $X$ sur $H$, puis la distance de $X$ à $H$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Un produit scalaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E=\mathbb R_n[X]$ et $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts. On pose, pour $(P,Q)\in E^2$, $$\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).$$
  1. Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur $E$.
  2. Déterminer une base orthonormée de $E$.
  3. Déterminer la distance de $Q\in E$ au sous-espace $H=\left\{P\in E;\ \sum_{k=0}^n P(a_k)=0\right\}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\inf_{a,b\in\mathbb R}\int_0^1(x^2-ax-b)^2dx$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Projecteurs orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p$ un projecteur de $E$. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si pour tout $x$ de $E$, on a $\|p(x)\|\leq \|x\|$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Projecteurs orthogonaux (bis) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p,q\in\mathcal L(E)$ deux projecteurs orthogonaux. Démontrer l'équivalence entre :
  1. $\textrm{Im}(p)\subset \textrm{Im}(q)$;
  2. Pour tout $x\in E$, $\|p(x)\|\leq \|q(x)\|$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Méthode des moindres carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels avec $p\leq n$. On munit $\mathbb R^n$ du produit scalaire canonique et on identifie $\mathbb R^n$ avec $\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)$. On considère une matrice $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)$ de rang $p$ et $B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)$.
  1. Démontrer qu'il existe une unique matrice $X_0$ de $\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)$ telle que $$\|AX_0-B\|=\inf\{\|AX-B\|;\ X\in\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)\}.$$
  2. Montrer que $X_0$ est l'unique solution de $$A^T AX=A^T B.$$
  3. Application : déterminer $$\inf\{(x+y-1)^2+(x-y)^2+(2x+y+2)^2;\ (x,y)\in\mathbb R^2\}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien. Pour $x_1,\dots,x_p$ des vecteurs de $E$, on appelle matrice de Gram la matrice de $\mathcal M_p(\mathbb R)$ définie par $(\langle x_i,x_j\rangle)_{i,j}$. On appelle déterminant de Gram des vecteurs $x_1,\dots,x_p$, et on note $G(x_1,\dots,x_p)$, le déterminant de cette matrice.
  1. Démontrer que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre si et seulement si $G(x_1,\dots,x_p)\neq 0$.
  2. On suppose désormais que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre, et on note $F=\textrm{vect}(x_1,\dots,x_p)$. Soit également $x\in E$. Démontrer que $$d(x,F)^2=\frac{G(x,x_1,\dots,x_p)}{G(x_1,\dots,x_p)}.$$
Indication
Corrigé
Polynômes orthogonaux
Exercice 21 - Généralités sur les polynômes orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $w:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue strictement positive. Pour $E=\mathbb R[X]$, on pose $$\langle P,Q\rangle =\int_a^b P(t)Q(t)w(t)dt$$ dont on admettra qu'il s'agit d'un produit scalaire sur $E$.
  1. Démontrer qu'il existe une unique suite de polynômes $(P_n)_{n\geq 0}$ formée de polynômes deux à deux orthogonaux avec chaque $P_n$ de degré $n$ et de coefficient dominant 1.
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $P_{n+1}-XP_n$ est orthogonal à $\mathbb R_{n-2}[X]$.
  3. En déduire pour tout $n\geq 1$, l'existence de $a_n$ et $b_n$ tels que $$P_{n+1}=(X+a_n)P_n+b_n P_{n-1}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Polynômes de Laguerre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$, $$h_n(x)=x^ne^{-x}\textrm{ et }L_n(x)=\frac{e^x}{n!}h_n^{(n)}(x).$$
  1. Calculer explicitement $L_0,L_1,L_2$.
  2. Montrer que, pour tout entier $n$, $L_n$ est une fonction polynômiale. Préciser son degré et son coefficient dominant.
  3. Pour tous $P,Q\in\mathbb R[X]$, on pose $$\varphi(P,Q)=\int_0^{+\infty}P(x)Q(x)e^{-x}dx.$$ Démontrer que $\varphi$ est bien définie.
  4. Démontrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathbb R[X]$.
  5. Calculer, pour tout $n\in\mathbb N$, $\varphi(L_0,X^n)$.
    1. Montrer que, pour tout $k\in\{0,\dots,n\}$, il existe $Q_k\in\mathbb R[X]$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$h_n^{(k)}(x)=x^{n-k}e^{-x}Q_k(x).$$
    2. Établir que : $$\forall n\in\mathbb N,\ \forall P\in\mathbb R[X],\ \forall p\in\{0,\dots,n\},\ \varphi(L_n,P)=\frac{(-1)^p}{n!}\int_0^{+\infty}h_n^{(n-p)}(x)P^{(p)}(x)dx.$$
  6. En déduire que $(L_n)_{n\in\mathbb N}$ est une famille orthonormée de $(\mathbb R[X],\varphi)$.
Corrigé
Exercice 23 - Polynômes de Tchebychev [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On désigne par $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ dans $\mathbb R$. On désigne par $E_n$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de $[-1,1]$ dans $\mathbb R$ de degré inférieur ou égal à $n$, où $n$ est un entier naturel.
  1. Existence et unicité
    1. Démontrer qu'il existe un polynôme $T$ à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ vérifiant la propriété $(\heartsuit)$ : $$(\heartsuit):\ \forall \theta\in\mathbb R,\ T(\cos\theta)=\cos(n\theta)$$ (on pourra remarquer que $\cos(n\theta)$ est la partie réelle de $(\cos\theta+i\sin\theta)^n)$.
    2. Démontrer qu'un polynôme vérifiant $(\heartsuit)$ est unique. On l'appelle le polynôme de Tchebychev d'indice $n$, on le note $T_n$.
  2. On définit alors sur $[-1,1]$ une fonction polynômiale par $$\forall x\in[-1,1],\ T_n(x)=\cos(n\arccos x).$$
    1. Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, on a $$T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x).$$
    2. Calculer $T_0,T_1,T_2,T_3$.
    3. Quel est le degré de $T_n$? Quel est le terme du coefficient de plus haut degré de $T_n$?
  3. Racines et extrema
    1. Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, $T_n(x)=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}(x-\cos\theta_k)$ où $\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{2n}$.
    2. On pose, pour $k\in\{0,\dots,n\}$, $c_k=\cos(k\pi/n)$. Calculer $\|T_n\|_\infty=\sup_{x\in[-1,1]}|T_n(x)|$, puis prouver que $|T_n(c_k)|=\|T_n\|_\infty$ pour tout $k\in\{0,\dots,n-1\}$.
  4. Orthogonalité
    1. Montrer que, pour toutes fonctions $f,g$ dans $E$, l'application $t\mapsto \frac{f(t)g(t)}{\sqrt{1-t^2}}$ est intégrable sur $]-1,1[$.
    2. Pour $f,g$ éléments de $E$, on pose $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 \frac{f(t)g(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$. Justifier que ceci définit un produit scalaire sur $E$.
    3. Calculer $\langle T_n,T_m\rangle$ pour tout $n,m\in\mathbb N$.
  5. Régularité et dérivée en 1.
    1. Justifier que $T_n$ est de classe $C^\infty$ sur $[-1,1]$.
    2. Pour $x\in]-1,1[$, donner une expression simple de $T_n'(x)$.
    3. Montrer que $\arccos(x)\sim \sqrt{2(1-x)}$ quand $x\to 1$ (on pourra utiliser un développement limité à l'ordre 2 en zéro de la fonction $\cos$). En déduire la valeur de $T_n'(1)$.
Corrigé