$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Nombres complexes : équations

Equations du premier degré
Exercice 1 - Équations du premier degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations suivantes, d'inconnue $z\in\mathbb C$ : $$ \begin{array}{lll} {\mathbf 1.}\ z+2i=iz-1&\quad&{\mathbf 2.}\ (3+2i)(z-1)=i\\ {\mathbf 3.}\ (2-i)z+1=(3+2i)z-i&\quad&{\mathbf 4.}\ (4-2i)z^2=(1+5i)z. \end{array}$$ On écrira les solutions sous forme algébrique.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Équations avec des conjuguées. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$ \begin{array}{lll} \displaystyle{\mathbf 1.}\ 2z+i=\overline z+1&\displaystyle{\mathbf 2.}\ 2z+\overline z=2+3i&\displaystyle{\mathbf 3.}\ 2z+2\overline z=2+3i. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les systèmes suivants, d'inconnues les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ :
  1. $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2z_1-z_2&=&i\\ -2z_1+3iz_2&=&-17 \end{array}\right.$$
  2. $$\left\{ \begin{array}{rcl} 3iz_1+iz_2&=&i+7\\ iz_1+2z_2&=&11i \end{array}\right.$$
On donnera les résultats sous forme algébrique.
Indication
Corrigé
Equations du second degré à coefficients réels
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb C$ les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ 2z^2+6z+5=0&\quad&\mathbf{2.}\ z^2-6z+13=0\\ \mathbf{3.}\ z^2+z+1=0&\quad&\mathbf{4.}\ \frac{3z+2}{z+1}=z+3 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Un système non linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb C$ le système suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} z+z'&=&2\\ zz'&=&17 \end{array}\right. $$
Corrigé
Enoncé
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $2$ dont l'une des racines est le nombre $-2+i\sqrt 3.$
  1. Indiquer l'autre racine de $P$.
  2. Donner les expressions développées et factorisées de $P$, sachant que $P(0)=35.$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Au carré avec un conjugué! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation suivante : $$z^2+2\bar z+1=0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Une équation de degré 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $P(z)=z^3+iz^2-iz+1+i$.
  1. Calculer $P(-1-i)$.
  2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $P(z)=(z+1+i)(z^2+az+b)$.
  3. Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $P(z)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On cherche à résoudre l'équation $$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=0.$$
  1. Rechercher une solution imaginaire pure $ai$ à l'équation.
  2. Déterminer $b,c\in\mathbb R$ tels que $$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=(z-ai)(z^2+bz+c).$$
  3. En déduire toutes les solutions de l'équation.
  4. Sur le même modèle, résoudre l'équation $z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i=0$.
Indication
Corrigé
Racines carrées et équations du second degré
Exercice 10 - Racine carrée en détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^2=15-8i$. Pour cela, on pose $z=x+iy$.
  1. Montrer que $z^2=15-8i$ si et et seulement si $(x,y)$ est solution du système : $$\left\{\begin{array}{rcl} x^2-y^2&=&15\\ 2xy&=&-8. \end{array}\right.$$
  2. Démontrer que si $z^2=15-8i$, on a aussi $x^2+y^2=17$.
  3. En déduire tous les nombres complexes $z$ tels que $z^2=15-8i$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Racine carrée d'un nombre complexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants : $z_1=3+4i,\ z_2=8-6i.$
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Racine carré de deux façons [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les racines carrées de $Z=\sqrt 3+i$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. En déduire la valeur de $\cos\left(\frac\pi{12}\right)$.
Corrigé
Exercice 13 - Racine carrée puis équation du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Calculer les racines carrées du nombre complexe $1+2\sqrt 2 i$ sous forme algébrique.
  2. Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $z^2+iz-\frac 12-i\frac{\sqrt 2}2=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Équations du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations du second degré suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z^2-2iz-1+2i=0&&\mathbf{2.}\ iz^2+(4i-3)z+i-5=0\\ \mathbf{3.}\ z^2-(7+i)z+12+3i=0. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Équation un peu abstraite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul. On considère l'équation $$z^2-\alpha(\alpha+i)z+i\alpha^3=0.$$
  1. Déterminer les solutions de cette équation.
  2. Si $\alpha=\rho e^{i\theta}$, donner la forme exponentielle de ces solutions.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'équation $z^3-(3+i)z^2-(2+5i)z+8+14i=0.$
  1. Vérifier que $2$ est solution de cette équation.
  2. Déterminer les nombres complexes $a,b,c$ tels que, pour tout $z\in\mathbb C$, $$z^3-(3+i)z^2-(2+5i)z+8+14i=(z-2)(az^2+bz+c).$$
  3. Déterminer les racines carrées de $16+30i$.
  4. En déduire toutes les solutions de l'équation $z^3-(3+i)z^2-(2+5i)z+8+14i=0.$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Déterminer les racines carrées de $-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$ et de $-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2$.
  2. En déduire les solutions de l'équation $z^4+z^2+1=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre l'équation $4iz^3+2(1+3i)z^2-(5+4i)z+3(1-7i)=0$, sachant qu'elle admet une racine réelle.
Corrigé
Racines $n$-ièmes, racines de l'unité
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z^4=-1&&\mathbf{2.}\ z^5=-i. \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z^3=1+i\sqrt 3&\quad&\mathbf{2.}\ z^6=\frac{-4}{1+i\sqrt 3}\\ \mathbf{3.}\ z^5=\frac{(1+i\sqrt 3)^4}{(1+i)^2}.&& \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Presque des racines de l'unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (z-1)^5=(z+1)^5&&\mathbf{2.}\ \left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3+\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^3=0\\ \mathbf{3.}(z+i)^n=(z-i)^n. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Second degré et racines 3-ièmes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer, sous forme algébrique, les racines carrées du nombre complexe $3-4i$.
  2. Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $w^2-iw-1+i=0$.
  3. Rappeler quelles sont les racines cubiques (ou racines 3-ièmes) de $1$.
  4. Écrire $-1+i$ sous forme exponentielle.
  5. Résoudre l'équation $z^3=-1+i$ (donner les solutions sous forme exponentielle).
  6. En déduire les solutions de l'équation $z^6-iz^3-1+i=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Pas tout à fait une racine $n$-ième [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les nombres complexes $z$ solution de l'équation $$z^6=(1+i)\overline z^2.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Donner la forme algébrique des nombres complexes $(-1-i)^3$ et $(1+2i)^3$.
  2. Donner les racines cubiques des nombres complexes $2-2i$ et $-11-2i$.
  3. Résoudre l'équation d'inconnue $z\in\mathbb C$ : $z^6+(9+4i)z^3-26+18i=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Variations sur les équations classiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ iz^8+iz^4+1+i=0&&\mathbf{2.}\ z^n=\bar z\ (n\geq 2)\\ \mathbf{3.}\ z^4-z^3+z^2-z+1=0&& \mathbf{4.}\ 1+2z+\dots+2z^{n-1}+z^n=0 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Somme et puissances de racines $n$-iemes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.
  1. Calculer le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.
  2. Soit $p\geq 0$. Calculer $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kp}$.
  3. En déduire que $\sum_{k=0}^{n-1}(1+\omega^k)^n =2n$.
Indication
Corrigé
Consulter aussi