$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : Séries numériques

Démontrer qu'une série à termes de signe constant converge

Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ converge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels qui garde un signe constant, on peut

  • trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha>1$ ou $v_n=a^n$ avec $0<a<1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice).
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq u_n\leq v_n$ (voir cet exercice ou cet exercice).
  • démontrer que les sommes partielles sont majorées (voir cet exercice).
  • utiliser le critère de d'Alembert, particulièrement approprié si la fonction comporte beaucoup de puissances ou de factorielles (voir cet exercice).
Démontrer qu'une série à termes de signe constant diverge

Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ diverge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels qui garde un signe constant, on peut

  • trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha\leq 1$ ou $v_n=a^n$ avec $a\geq 1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice);
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq v_n\leq u_n$;
  • démontrer que le terme général ne tend pas vers 0;
  • utiliser le critère de d'Alembert, particulièrement approprié si la fonction comporte beaucoup de puissances ou de factorielles (voir cet exercice).
Démontrer qu'une série à terme quelconque converge ou diverge
  Pour étudier la nature d'une série $\sum_n u_n$ où la suite $(u_n)$ n'est pas forcément de signe constant, on peut
  • étudier la convergence absolue (voir cet exercice). Attention, la convergence absolue n'est qu'une condition suffisante de convergence;
  • démontrer que le terme général ne tend pas vers 0 (attention, ceci n'est qu'une condition suffisante de divergence);
  • utiliser le critère des séries alternées;
  • à l'aide de développements limités, décomposer le terme général $u_n$ sous la forme $u_n=v_n+O(w_n)$, où on sait étudier la nature des séries $\sum_n v_n$, et où on sait que la série $\sum_n w_n$ est absolument convergente. Dans ce cas, la série $\sum_n u_n$ aura le même comportement que la série $\sum_n v_n$ (voir cet exercice).
Etudier la convergence d'une série $\sum_n \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}$ ou $\sum_n \frac{e^{in\theta}}{n^\alpha}$

Pour étudier une série du type $\sum_n \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}$ ou $\sum_n \frac{e^{in\theta}}{n^\alpha}$, lorsque la convergence absolue n'est pas suffisante, on réalise souvent une transformation d'Abel (voir cet exercice). Pour cela, on écrit le terme général comme un produit $u_nv_n$ (ici, $u_n=\cos(n\theta)$ par exemple et $v_n=\frac1{n})$ et on introduit la somme $s_n=\sum_{k=1}^n u_k$. On écrit ensuite que $u_k=s_k-s_{k-1}$ et on introduit la transformation suivante : $$\sum_{k=1}^n u_kv_k=\sum_{k=1}^n (s_k-s_{k-1})v_k=s_n v_n+\sum_{k=1}^{n-1}s_k(v_k-v_{k-1}).$$ Le plus souvent, on peut conclure car on sait que $(s_k)$ est une suite bornée (dans le cas trigonométrique, on sait calculer cette somme) et que $v_k-v_{k-1}$ est petit (par exemple, si $v_k=\frac 1k$, $v_k-v_{k-1}\sim\frac 1{k^2}$.

Encadrer ou obtenir un équivalent des sommes partielles, des restes

Lorsqu'on souhaite encadrer des sommes partielles ou des restes de séries numériques, diverses techniques sont à notre disposition :

  • Dans le cas de séries du type $\sum_n f(n)$, où $f$ est une fonction monotone, on peut utiliser un encadrement de $f(n)$ par $\int_n^{n+1}f(t)dt$ et $\int_{n-1}^n f(t)dt$, sommer les intégrales par la relation de Chasles, et calculer l'intégrale correspondante (voir cet exercice ou cet exercice).
  • Pour majorer un reste $\sum_{n\geq p}u_n$, lorsque $u_n\geq 0$, on peut trouver une suite $(v_n)$ de sorte que $u_n\leq v_n$ et on sait majorer le reste $\sum_{n\geq p}v_n$ (voir cet exercice).
  • Le critère des séries alternées fournit également un encadrement de la somme par deux sommes partielles consécutives, et une majoration de la valeur absolue du reste (voir cet exercice).
  • pour avoir un équivalent du reste, on peut penser au théorème de sommation des relations de comparaison (voir cet exercice).
Calculer la somme d'une série

Pour calculer la somme d'une série $\sum_n u_n$, on peut

  • écrire la suite $(u_n)$ sous une forme "télescopique", $u_n=v_n-v_{n-1}$. Quand on va calculer la somme partielle, les termes différents termes de la suite $(v_n)$ se simplifient (voir cet exercice).
  • utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices... (voir cet exercice).
  • pour calculer des sommes proches des sommes géométriques $\sum_k x^k$, par exemple $\sum_k kx^k$ ou $\sum_k\frac{1}{k+1}x^k$, on peut se ramener à une somme finie, utiliser la somme de la suite géométrique, et dériver, intégrer, multiplier par $x$… (voir cet exercice).