$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Intégration

Trouver des propriétés des fonctions vérifiant des égalités d'intégrales
  Pour trouver des propriétés des fonctions vérifiant des égalités d'intégrales, on utilise souvent le théorème suivant :

Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
Attention! Parfois le fait qu'une intégrale doit être nulle est caché dans l'énoncé de l'exercice (voir cet exercice ou celui-ci).
Calculer la limite d'une suite à l'aide d'intégrales
  Pour calculer la limite d'une suite à l'aide d'intégrales, on peut
  • interpréter cette suite comme la somme de Riemann d'une certaine fonction, et utiliser le théorème sur les sommes de Riemann (voir cet exercice ou celui-ci).
  • interpréter la suite à partir d'intégrales, et majorer, minorer la fonction à l'intérieur de l'intégrale…
Etudier une intégrale dépendant d'une de ces bornes
  Pour étudier une intégrale dépendant de ces bornes, du type $F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$, on peut être amenée à dériver cette fonction. Sa dérivée est égale à $$F'(x)=v'(x)f(v(x))-u'(x)f(u(x)),$$ formule qui se démontre par application du théorème fondamental du calcul intégral et par composition.
Étude de la convergence d'une intégrale impropre
  Pour étudier une intégrale impropre $\int_I f$,
  • Étape 1 : on étudie la continuité (par morceaux) de $f$ sur $I$. Il faut vérifier notamment qu'il n'y a pas de problèmes à l'intérieur de $]a,b[$. D'autre part, il est possible que $f$ se prolonge par continuité en $a$ (ou en $b$). Dans ce cas, on n'a pas vraiment affaire à une intégrale impropre en $a$, mais à l'intégrale d'une fonction continue. Si par exemple on vous demande de justifier l'existence de $\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t}dt$, vous devez dire que $f:t\mapsto \frac{\ln(1+t)}t$ est continue sur $]0,1]$ et se prolonge par continuité en $0$ en posant $f(0)=1$. Ainsi, $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}tdt$ existe comme intégrale d'une fonction continue sur un segment.
  • Étape 2 : étude de la convergence. Il y a encore plusieurs méthodes possibles :
    • on connait une primitive de la fonction $f$ : dans ce cas, on conclut en utilisant la définition. C'est assez rare que ce soit possible, mais cela fonctionne pour prouver la convergence de $\int_0^1 \ln(t)dt$ ou de $\int_0^{+\infty}e^{-t}dt$. Par exemple, pour prouver la convergence de $\int_0^1 \ln(t)dt$, on peut dire que $\ln $ est continue sur $]0,1]$ et qu'une primitive est $t\mapsto t\ln t-t$. Ainsi, pour tout $\delta\in ]0,1]$, on a $$\int_\delta^1 \ln(t)dt=\left[t\ln t-t\right]_\delta^1=-\delta\ln\delta+\delta-1.$$ De plus, par comparaison de la fonction logarithme et des fonctions puissance en $0$, on a $$\lim_{\delta\to 0}\delta\ln\delta=0.$$ Ainsi, $\int_\delta^1\ln(t)dt$ admet une limite lorsque $\delta\to 0$, et donc $\int_0^1 \ln(t)dt$ converge. De plus, on a prouvé que $\int_0^1 \ln(t)dt=-1$.
    • par majoration, en se ramenant à la convergence d'une intégrale connue (souvent, une intégrale de Riemann), et en utilisant les théorèmes de croissance comparée. Par exemple, on prouve que pour tout $n\in\mathbb N$, $\int_0^{+\infty}t^n e^{-t}dt$ converge de la façon suivante : la fonction $t\mapsto t^n e^{-t}$ est continue sur $[0,+\infty[$. De plus, par croissance comparée de l'exponentielle et des puissances, $\lim_{t\to+\infty}t^{n+2}e^{-t}=0$. Autrement dit, $t^ne^{-t}=_{+\infty}o\left(\frac1{t^2}\right)$. Puisque $\frac 1{t^2}\geq 0$ et que $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}$ converge, on en déduit que $\int_0^{+\infty} t^ne^{-t}dt$ converge.
    • par minoration, en utilisant le même type de raisonnement. Par exemple, on prouve la divergence de $\int_2^{+\infty}\frac{dt}{\ln t}$ de la façon suivante : la fonction $t\mapsto 1/\ln (t)$ est continue sur $[2,+\infty[$. De plus, par comparaison de la fonction racine carrée et du logarithme, on sait que $\lim_{t\to+\infty}\frac{\sqrt t}{\ln t}=+\infty$. Ainsi, pour $t$ assez grand, on a $\frac1{\ln t}\geq\frac1{\sqrt t}>0$. Puisque $\int_2^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt t}$ diverge, on en déduit que $\int_2^{+\infty}\frac{dt}{\ln t}$ diverge.
    • par équivalent : si on démontre que $f(x)\sim_{+\infty}g(x)$ et si $f$ et/ou $g$ sont de signe constant au voisinage de l'infini, alors $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ et $\int_a^{+\infty}g(x)dx$ sont de même nature. Pour trouver un équivalent simple, on utilise les techniques usuelles, notamment les développements limités.
    • par intégration par parties. Pour l'étude des certaines intégrales, du type $\int_1^{+\infty}\frac{\sin }{t}dt$, qui ne sont pas absolument convergentes, une intégration par parties permet de se ramener à une intégrale absolument convergente.
    Trouver un équivalent du reste ou de la somme partielle d'une intégrale impropre
    Pour déterminer un équivalent du reste ou de la somme partielle d'une intégrale impropre, on peut utiliser les théorèmes d'intégration des relations de comparaison :
    • parfois, on remplace simplement une fonction $f$ dont on ne sait pas calculer l'intégrale par une fonction $g$ qui lui est équivalente et dont on sait calculer l'intégrale (voir cet exercice).
    • parfois, on réalise une intégration par parties pour arriver à une écriture du type $$\int_a^x f(t)dt=F(x)+\int_a^x g(t)dt.$$ On peut alors conclure par exemple si $g(t)=_b o\big(f(t)\big)$ (voir cet exercice).
    Permuter une série et une intégrale
      Pour permuter une série et une intégrale, $\sum_{n\geq 1}\int_I u_n(t)dt$, on peut
    • appliquer le théorème d'intégration terme à terme (voir cet exercice).
    • dans certains cas, le théorème d'intégration terme à terme ne fonctionne pas, et il faut revenir à une application directe du théorème de convergence dominée avec la suite $S_N(t)=\sum_{n=1}^N u_n(t)$ (voir cet exercice).
    Démontrer la continuité d'une intégrale à paramètres
    • lorsque l'intervalle d'intégration $I$ est un segment, l'hypothèse de domination est souvent plus facile à obtenir par un argument de compacité. En effet, supposons que $u$ soit continue comme fonction des deux variables sur $[a,b]\times I$. Alors, ce dernier ensemble étant compact, il existe $M>0$ tel que, pour tout $(x,t)\in [a,b]\times I$, $|u(x,t)|\leq M$. Et les constantes sont intégrables sur les segments! (voir cet exercice).
    • lorsque qu'on veut démontrer la continuité sur $\mathbb R$ d'une fonction du type $F(x)=\int_I f(x,t)dt$, il suffit de la démontrer sur tout segment $[a,b]\subset \mathbb R$ et donc d'appliquer le théorème de continuité d'une intégrale à paramètres avec $x\in [a,b]$ (avec $a<b$ quelconques). Ceci simplifie parfois l'obtention de la fonction majorante. Le même raisonnement s'applique pour la dérivabilité des intégrales à paramètres (voir cet exercice).