Méthodes : fonctions d'une variable réelle
Démontrer qu'une fonction $f$ n'admet pas de limite en $a$
- on peut démontrer que les limites à gauche et à droite sont différentes (voir cet exercice).
- on peut trouver une suite $(u_n)$ qui tend vers $a$ tel que $(f(u_n))$ ne converge pas vers $f(a)$.
Démontrer qu'on ne peut pas prolonger par continuité $f$ en $a$
- on peut trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui tendent vers $a$ telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$
Pour démontrer que $f$ réalise une bijection de $]a,b[$ sur $]c,d[$, on peut successivement
- vérifier que $f$ est continue
- vérifier que $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante
- étudier les limites aux bornes de $f$, par exemple prouver que $\lim_{x\to a}f(x)=c$ et $\lim_{x\to b}f(x)=d$.
Démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=a$
- on peut vérifier que $f$ est continue, trouver $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)<a$ et $f(x_2)>a$. Le théorème des valeurs intermédiaires implique alors qu'il existe $x_0\in [x_1,x_2]$ tel que $f(x_0)=a$.
- si de plus $f$ est strictement monotone, alors la solution est unique.
Démontrer qu'une fonction $f$ est dérivable en $a$
- on peut utiliser la définition avec le taux d'accroissement (voir cet exercice). En particulier, si on veut démontrer que $f$ n'est pas dérivable en $a$, c'est presque toujours ainsi que l'on procèdera.
- on peut appliquer le théorème de prolongement d'une dérivée (voir cet exercice).
Démontrer des formules faisant intervenir la dérivée d'ordre $n$ d'une fonction
- il s'agit souvent d'appliquer le théorème de Rolle à la bonne fonction (voir cet exercice).
Calculer la dérivée $n$-ième d'une fonction
- on peut appliquer la formule de Leibniz (voir cet exercice).
- on peut calculer les premières dérivées, conjecturer le résultat et procéder par récurrence (voir cet exercice).
Étudier des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$
Soit $f:[a,b]\to [a,b]$ et $(u_n)$ une suite définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
- on peut démontrer que $|f'|\leq k<1$ sur $I=[a,b]$.
- on démontre ensuite que $f$ admet un point fixe $\gamma$ dans $[a,b]$ à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $g(x)=f(x)-x$.
- on utilise l'inégalité des accroissements finis pour démontrer par récurrence sur $n$ que $$|u_n-\gamma|\leq k^n |u_0-\gamma|.$$
Obtenir des inégalités
L'égalité et l'inégalité des accroissements finis permettent souvent d'obtenir des inégalités. Par exemple,
si on applique l'égalité des accroissements finis entre $a$ et $b$, on peut souvent contrôler la différence $f(a)-f(b)$
si on connait des informations sur la dérivée $f'$ sur $[a,b]$
(voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction est convexe
Pour démontrer qu'une fonction $f:I\to\mathbb R$ est convexe, on peut
- si $f$ est deux fois dérivable, vérifier que sa dérivée seconde est positive;
- dans des exercices plus théoriques, revenir simplement à la définition d'une fonction convexe (voir cet exercice ou celui-ci).
Etudier des propriétés de fonctions convexes
Pour démontrer certaines propriétés vérifiées par des fonctions convexes (comportement à l'infini,
extrema,...), l'inégalité des pentes est très souvent le meilleur allié!