$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : fonctions d'une variable réelle

Démontrer qu'une fonction $f$ n'admet pas de limite en $a$
  • on peut démontrer que les limites à gauche et à droite sont différentes (voir cet exercice).
  • on peut trouver une suite $(u_n)$ qui tend vers $a$ tel que $(f(u_n))$ ne converge pas vers $f(a)$.
Démontrer qu'on ne peut pas prolonger par continuité $f$ en $a$
  • on peut trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui tendent vers $a$ telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$
  Pour démontrer que $f$ réalise une bijection de $]a,b[$ sur $]c,d[$, on peut successivement
  • vérifier que $f$ est continue
  • vérifier que $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante
  • étudier les limites aux bornes de $f$, par exemple prouver que $\lim_{x\to a}f(x)=c$ et $\lim_{x\to b}f(x)=d$.
Démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=a$
  • on peut vérifier que $f$ est continue, trouver $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)<a$ et $f(x_2)>a$. Le théorème des valeurs intermédiaires implique alors qu'il existe $x_0\in [x_1,x_2]$ tel que $f(x_0)=a$.
  • si de plus $f$ est strictement monotone, alors la solution est unique.
Démontrer qu'une fonction $f$ est dérivable en $a$
  • on peut utiliser la définition avec le taux d'accroissement (voir cet exercice). En particulier, si on veut démontrer que $f$ n'est pas dérivable en $a$, c'est presque toujours ainsi que l'on procèdera.
  • on peut appliquer le théorème de prolongement d'une dérivée (voir cet exercice).
Démontrer des formules faisant intervenir la dérivée d'ordre $n$ d'une fonction
  • il s'agit souvent d'appliquer le théorème de Rolle à la bonne fonction (voir cet exercice).
Calculer la dérivée $n$-ième d'une fonction
  • on peut appliquer la formule de Leibniz (voir cet exercice).
  • on peut calculer les premières dérivées, conjecturer le résultat et procéder par récurrence (voir cet exercice).
Étudier des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$
Soit $f:[a,b]\to [a,b]$ et $(u_n)$ une suite définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
  • on peut démontrer que $|f'|\leq k<1$ sur $I=[a,b]$.
  • on démontre ensuite que $f$ admet un point fixe $\gamma$ dans $[a,b]$ à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $g(x)=f(x)-x$.
  • on utilise l'inégalité des accroissements finis pour démontrer par récurrence sur $n$ que $$|u_n-\gamma|\leq k^n |u_0-\gamma|.$$
(voir cet exercice).
Obtenir des inégalités
  L'égalité et l'inégalité des accroissements finis permettent souvent d'obtenir des inégalités. Par exemple, si on applique l'égalité des accroissements finis entre $a$ et $b$, on peut souvent contrôler la différence $f(a)-f(b)$ si on connait des informations sur la dérivée $f'$ sur $[a,b]$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction est convexe
  Pour démontrer qu'une fonction $f:I\to\mathbb R$ est convexe, on peut
  • si $f$ est deux fois dérivable, vérifier que sa dérivée seconde est positive;
  • dans des exercices plus théoriques, revenir simplement à la définition d'une fonction convexe (voir cet exercice ou celui-ci).
Etudier des propriétés de fonctions convexes
  Pour démontrer certaines propriétés vérifiées par des fonctions convexes (comportement à l'infini, extrema,...), l'inégalité des pentes est très souvent le meilleur allié!