$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : Espaces métriques, espaces vectoriels normés

Trouver une norme qui donne un contre-exemple
  Lorsqu'on cherche un exemple de norme ne vérifiant pas une certaine propriété (ou qui montre qu'une certaine propriété ne peut pas être améliorée), on peut souvent utiliser la norme infinie $\|\cdot\|_\infty$ sur $\mathbb R^2$ ou sur $\mathbb R^n$. Elle possède certaines propriétés extrémales qui en font une bonne source de contre-exemples (voir cet exercice).
Démontrer que $N$ est une norme
  Pour démontrer que $N$ est une norme, on peut :
  • vérifier la définition d'une norme. Deux points peuvent poser plus particulièrement problème :
    • l'inégalité triangulaire, notamment dans le cas où la norme est définie par un sup. Il faut alors rédiger très proprement en s'inspirant de ce qui est fait dans le cours pour la norme infinie.
    • le fait que $N(x)=0$ si et seulement si $x=0$. Il faut parfois utiliser des propriétés de continuité, ou le nombre de racines d'un polynôme pour prouver ceci (voir cet exercice).
  • démontrer que $N$ est la norme issue d'un produit scalaire. Ceci est particulièrement approprié si la norme fait apparaitre des carrés. Dans ce cas, on retrouve le produit scalaire dont est issue la norme en appliquant la formule de polarisation (voir cet exercice).
  • vérifier que $N$ est la restriction à un sous-espace d'une norme bien connue.
Démontrer que deux normes ne sont pas équivalentes
  Pour démontrer que $N_1$ et $N_2$ ne sont pas deux normes équivalentes, le plus souvent on cherche une suite $(x_n)$ d'éléments de $E$ telle que $$\frac{N_1(x_n)}{N_2(x_n)}\to 0\textrm{ ou }\frac{N_1(x_n)}{N_2(x_n)}\to +\infty.$$ Pour la suite $(x_n)$, penser à des exemples assez simples (polynômes qui prennent des degrés de plus en plus haut si on travaille sur $\mathbb R[X]$, $x^n$ si on travaille avec des fonctions continues, fonctions en escalier,…) (voir cet exercice).
Démontrer qu'un ensemble est fermé
  Pour démontrer qu'un ensemble $A$ est fermé, on peut
  • démontrer que son complémentaire est ouvert;
  • utiliser la caractérisation séquentielle : démontrer que pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$, alors $\ell\in A$;
  • démontrer que $A$ est l'image réciproque d'un fermé par une application continue.
Démontrer qu'un ensemble n'est pas fermé
  Pour démontrer qu'un ensemble $A$ n'est pas fermé, on peut
  • démontrer que son complémentaire n'est pas ouvert;
  • utiliser la caractérisation séquentielle : trouver une suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$ de sorte que $\ell\notin A$.
Démontrer qu'un ensemble n'est pas ouvert
  Pour démontrer qu'un ensemble $A$ n'est pas ouvert, on peut
  • démontrer que son complémentaire n'est pas fermé;
  • trouver un élément $x\in A$ et une suite $(x_n)$ qui converge vers $x$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $x_n\notin A$.
Démontrer que l'intérieur d'un ensemble est vide
  Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble $A$ est vide, on peut, pour tout $x\in A$, trouver une suite $(x_n)$ dans le complémentaire de $A$ qui tend vers $x$ (voir cet exercice).
Déterminer l'adhérence d'un ensemble
  Pour démontrer que $x$ est dans l'adhérence de $A$, on peut
  • démontrer que, pour tout $r>0$, $B(x,r)$ intersecte $A$;
  • déterminer une suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $x$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction n'admet pas de limite en $a$
  Pour démontrer que $f$ n'admet pas de limite en $a$, on peut
  • trouver une suite $(x_n)$ qui converge vers $a$ et telle que $(f(x_n))$ ne converge pas.
  • trouver deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ qui convergent vers $a$ et telles que $(f(x_n))$ et $(f(y_n))$ admettent des limites différentes
(voir cet exercice).
Démontrer qu'une application linéaire est continue
  Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ est continue, on cherche une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in E$, on ait $\|u(x)\|\leq C\|x\|$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une application linéaire n'est pas continue
  Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ n'est pas continue, on peut chercher une suite $(x_n)$ de $E$ avec $\|x_n\|=1$ et $\|u(x_n)\|\to+\infty$ (voir cet exercice).
Calculer la norme d'une application linéaire continue
  Pour calculer la norme d'une application linéaire continue $u:(E,\|\cdot\|)\to (F,\|\cdot\|)$, on peut
  • chercher, l'aide des techniques de majoration usuelles, une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in E$, on a $\|u(x)\|\leq C\|x\|$. Ceci prouve que $\|u\|\leq C$.
  • Pour prouver l'inégalité dans l'autre sens, on peut chercher un exemple d'élément $x$ pour lequel $\|u(x)\|=C\|x\|$. Parfois, il est impossible de trouver un tel élément. On cherche alors une suite $(x_n)$ telle que $\frac{\|u(x_n)\|}{\|x_n\|}$ converge vers $C$
(voir cet exercice).