Résumé de cours : espaces métriques, espaces vectoriels normés

Distances - espaces métriques

$E$ désigne un ensemble.

On appelle distance sur $E$ toute application $d:E\times E\to\mathbb R_+$ vérifiant les propriétés suivantes :
1. $\forall (x,y)\in E^2$, $d(x,y)=0\iff x=y$.
2. $\forall (x,y)\in E^2$, $d(x,y)=d(y,x)$.
3. $\forall (x,y,z)\in E^3$, $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.
$(E,d)$ s'appelle alors un espace métrique.
Si $(E,d)$ est un espace métrique, on appelle
- boule ouverte de centre $a\in E$ et de rayon $r\geq 0$ l'ensemble $$B(a,r)=\{x\in E;\ d(x,a)< r\}.$$
- boule fermée de centre $a\in E$ et de rayon $r\geq 0$ l'ensemble $$\bar B(a,r)=\{x\in E;\ d(x,a)\leq r\}.$$
- sphère de centre $a\in E$ et de rayon $r\geq 0$ l'ensemble $$S(a,r)=\{x\in E;\ d(x,a)=r\}.$$
Une partie $A\subset (E,d)$ est dite bornée s'il existe $x\in E$ et $M>0$ tels que $A\subset B(x,M)$.
Si $(E_1,d_1)$ et $(E_2,d_2)$ sont deux espaces métriques, on définit une distance $d$ sur $E_1\times E_2$ par la formule $$d\big((x_1,y_1),(x_2,y_2)\big)=d_1(x_1,x_2)+d_2(y_1,y_2).$$ L'espace métrique $(E_1\times E_2,d)$ s'appelle espace produit de $(E_1,d_1)$ et $(E_2,d_2)$.
Si $A\subset (E,d)$ et $x\in E$, on appelle distance de $x$ à $A$, et on note $d(x,A)$, le réel $$d(x,A)=\inf\{d(x,a);\ a\in A\}.$$
Si $A\subset (E,d)$ est une partie bornée, on appelle diamètre de $A$ le réel $$\textrm{diam}(A)=\sup\{d(a,b);\ a,b\in A\}.$$

Suites dans les espaces métriques

$(E,d)$ désigne un espace métrique.

Une suite $(u_n)$ de $(E,d)$ est dite convergente vers $\ell\in E$ si $$\forall \veps>0,\ \exists N\in \mathbb N,\ \forall n\geq N,\ d(u_n,\ell)\leq\veps.$$ Une suite qui n'est convergente vers aucun $\ell\in E$ est dite divergente.
Théorème : Si $(u_n)$ est une suite convergente vers $\ell$ et vers $\ell'$, alors $\ell=\ell'$. On appelle cet élément de $E$ la limite de la suite $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ une suite de $E$ et soit $\phi:\mathbb N\to\mathbb N$ strictement croissante. La suite $(u_{\phi(n)})$ s'appelle suite extraite de $(u_n)$.
Proposition : Soit $(u_n)$ une suite de $E$.
- toute suite extraite d'une suite extraite de $(u_n)$ est une suite extraite de $(u_n)$.
- si $(u_n)$ converge vers $\ell$, toute suite extraite de $(u_n)$ converge vers $\ell$.
- si $(u_n)$ admet une suite extraite $(u_{\phi(n)})$ qui converge vers $\ell_1$ et une suite extraite $(u_{\psi(n)})$ qui converge vers $\ell_2$ avec $\ell_1\neq \ell_2$, alors $(u_n)$ est divergente.
- si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers le même $\ell\in E$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.
On dit que $\ell$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ s'il existe une suite extraite de $(u_n)$ qui converge vers $\ell$.
Proposition : Soit $(E_1,d_1)$ et $(E_2,d_2)$ deux espaces métriques, et $(E,d)$ l'espace métrique produit. Soit $(w_n)=(u_n,v_n)$ une suite de $E$. Alors $(w_n)$ converge vers $\ell=(\ell_1,\ell_2)$ dans $(E,d)$ si et seulement si $(u_n)$ converge vers $\ell$ dans $(E_1,d_1)$ et $(v_n)$ converge vers $\ell$ dans $(E_2,d_2)$.

Ouvers, fermés, parties denses

$(E,d)$ désigne un espace métrique.

Soit $x$ un point de $E$ et $V$ une partie de $E$. On dit que $V$ est un voisinage de $x$ s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset V$.
On dit qu'une partie $U$ de $E$ est un ouvert s'il est voisinage de tous ses points. Autrement dit, $U$ est ouvert si, pour tout $x\in U$, il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset U$.
Proposition :
- une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
- une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
On dit qu'une partie $F$ de $E$ est un fermé de $E$ si son complémentaire est un ouvert de $E$.
Proposition :
- une réunion finie de fermés est un fermé.
- une intersection quelconque de fermés est un fermé.
Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $x\in E$ est un point intérieur de $A$ s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset A$. On appelle intérieur de $A$ et on note $\mathring A$ l'ensemble des points intérieurs de $A$. L'ensemble $\mathring A$ est un ouvert : c'est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $x\in E$ un un point adhérent à $A$ si, pour tout $r>0$, on a $B(x,r)\cap A\neq\varnothing$. On appelle adhérence de $A$ et on note $\bar A$ l'ensemble des points adhérents à $A$. L'ensemble $\bar A$ est un fermé : c'est le plus petit fermé contenant $A$.
On appelle également frontière de $A$ l'ensemble $\bar A\backslash \mathring A$.
Théorème (caractérisation séquentielle) : Soit $A$ une partie de $E$ et $x\in E$.
- $x\in\bar A$ si et seulement s'il existe une suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $x$.
- $A$ est fermé si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $\ell\in E$, alors $\ell\in A$.
Une partie $A$ de $E$ est dense dans $E$ si son adhérence est égale à $E$. Autrement dit, $A$ est dense dans $E$ si et seulement tout $x\in E$ est limite d'une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$.
Soit $A$ une partie de $E$. On appelle ouvert relatif de A l'intersection d'un ouvert de $E$ avec $A$. De même, on appelle fermé relatif de A l'intersection d'un fermé de $E$ avec $A$. Un fermé relatif de $A$ est aussi le complémentaire dans $A$ d'un ouvert relatif de $A$.
Proposition : Soit $A$ une partie de $E$ et $F$ une partie de $A$. Alors $F$ est un fermé relatif de $A$ si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui converge vers un élément $\ell$ de $A$, alors $\ell\in F$.
On dit qu'un point $a$ de $E$ est un point isolé de $E$ s'il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\cap E=\{a\}$. Autrement dit, $a$ est un point isolé de $E$ si toute suite convergeant vers $a$ stationne en $a$.
On dit qu'un point $a$ de $E$ est un point d'accumulation de $E$ si, pour tout $r>0$, $B(a,r)\cap E$ est infini. Autrement dit, $a$ est un point d'accumulation de $E$ s'il existe une suite injective convergeant vers $a$.

Limites et continuité

$(E,d)$ et $(F,d)$ sont deux espaces métriques, $f:E\to F$ est une fonction.

Soit $a\in E$. On dit que $f$ admet une limite en $a$ s'il existe $\ell\in F$ tel que $$\forall \veps>0, \exists \delta>0, \forall x\in E,\ d(x,a)<\delta\implies d(f(x),\ell)<\veps.$$ Si $f$ admet une limite en $a$, cette limite est nécessairement unique.
Proposition : $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ de $E$ qui converge vers $a$, alors $\big(f(x_n)\big)$ converge vers $\ell$.
On dit que $f$ est continue en $a\in E$ si $f$ admet une limite en $a$ (nécessairement égale à $f(a)$). On dit que $f$ est continue sur $E$ si elle est continue en chaque point de $E$.
Théorème : $f:E\to F$ est continue en $a\in E$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de $E$ qui tend vers $a$, alors $\big(f(x_n)\big)$ tend vers $f(a)$.
Corollaire : Deux applications continues $f,g:E\to F$ qui coïncident sur une partie dense de $E$ sont égales.
Théorème : Soit $f:E\to F$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- $f$ est continue
- L'image réciproque d'un ouvert de $F$ par $f$ est un ouvert de $E$
- L'image réciproque d'un fermé de $F$ par $f$ est un fermé de $E$.
On dit que $f$ est uniformément continue sur $E$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $\delta>0$ tel que $$\forall x,y\in A,\ d(x,y)<\delta\implies d(f(x),f(y))<\veps.$$
On dit que $f$ est lipschitzienne de rapport $k\in\mathbb R$ si $$\forall x,y\in E,\ d(f(x),f(y))\leq k d(x,y).$$
Toute application lipschitzienne est uniformément continue. Toute application uniformément continue est continue. Les réciproques sont fausses.
Proposition : Soit $A$ une partie de $E$. Alors l'application distance à $A$, $x\mapsto d(x,A)$, est $1-$lipschitzienne. En particulier, elle est uniformément continue.

Normes

Une application $\|\cdot\|:E\to\mathbb R_+$ est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes :
1. Pour tout $x\in E$, $\|x\|=0\iff x=0$.
2. Pour tout $x\in E$ et tout $\lambda\in\mathbb K$, $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$ (homogénéité).
3. Pour tous $x,y\in E$, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (inégalité triangulaire).
On dit alors que $(E,\|\cdot\|)$ est un espace vectoriel normé.
Si $(E,\|\cdot\|)$ est un espace vectoriel normé, l'application $d:E\times E\to\mathbb R_+$ définie par $d(x,y)=\|x-y\|$ est appelée distance associée à la norme $\|\cdot\|$ sur $E$. Elle vérifie les axiomes d'une distance. Les propriétés topologiques de l'espace vectoriel norme $(E,\|\cdot\|)$ seront relatives à cette distance. On peut toutes les exprimer en termes de la norme.

Exemples de normes

Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur $E$ toute application $\langle \cdot,\cdot\rangle:E\times E\to \mathbb R$ vérifiant les propriétés suivantes :
- elle est bilinéaire : pour tous $x,y,z\in E$ et tout $\lambda\in\mathbb R$, on a $$\langle x+\lambda y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\lambda \langle y,z\rangle$$ $$\langle x,\lambda y+z\rangle=\lambda \langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle.$$
- elle est symétrique : pour tous $x,y\in E$, on a $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$.
- elle est définie positive : pour tout $x\in E$, on a $\langle x,x\rangle\geq 0$ et de plus $\langle x,x\rangle=0$ si et seulement si $x=0$.
Théorème :Si $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire sur $E$, alors l'application $\|\cdot\|$ définie sur $E$ par $$\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$$ est une norme sur $E$, appelée norme associée au produit scalaire $\langle \cdot,\cdot\rangle$.
Sur $\mathbb K^n$, définissons pour $x=(x_1,\dots,x_n)$, \begin{eqnarray*} \|x\|_1&=&|x_1|+\dots+|x_n|\\ \|x\|_2&=&\sqrt{|x_1|^2+\dots+|x_n|^2}\\ \|x\|_\infty&=&\max(|x_1|,\dots,|x_n|). \end{eqnarray*} Alors $\|\cdot\|_1$, $\|\cdot\|_2$, et $\|\cdot\|_\infty$ sont trois normes sur $\mathbb K^n$.
Soit $X$ un ensemble et $E$ l'ensemble des fonctions bornées de $X$ dans $\mathbb K$. Pour $f\in E$, on pose $$\|f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f(x)|.$$ Alors $\|\cdot\|_\infty$ est une norme sur $E$.
Soit $I=[a,b]$ un segment et $E=\mathcal C(I,\mathbb K)$. Pour $f\in E$, on pose \begin{eqnarray*} \|f\|_1&=&\int_a^b |f(t)|dt\\ \|f\|_2&=&\left(\int_a^b |f(t)|^2dt\right)^{1/2}. \end{eqnarray*} Alors $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont deux normes sur $\mathbb E$.

Normes équivalentes

Deux normes $N_1$ et $N_2$ sur $E$ sont appelées normes équivalentes s'il existe deux constantes $a,b>0$ telles que, pour tout $x\in E$, $$aN_1(x)\leq N_2(x)\leq b N_1(x).$$
Théorème : Si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes équivalentes sur $E$, une suite est convergente (resp. bornée) dans $(E,N_1)$ si et seulement si elle est convergente (resp. bornée) dans $(E,N_2)$.

Applications linéaires continues

Théorème : Soient $(E,\|\cdot\|)$, $(F,\|\cdot\|)$ deux espaces vectoriels normés, et soit $u\in\mathcal L(E,F)$ une application linéaire. Alors $u$ est continue si et seulement s'il existe $C>0$ tel que, pour tout $x\in E$, $$\|u(x)\|\leq C\|x\|.$$
On note $\mathcal L_c(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$.
Si $u:(E,\|\cdot\|)\to (F,\|\cdot\|)$ est une application linéaire continue, on appelle norme de u et on note $\|u\|$ le réel \begin{eqnarray*} \|u\|&=&\sup\{\|u(x)\|;\ \|x\|\leq 1\}\\ &=&\sup\left\{\frac{\|u(x)\|}{\|x\|};\ x\neq 0\right\}. \end{eqnarray*}
Théorème : $\mathcal L_c(E,F)$ muni de la norme des applications linéaires continues est un espace vectoriel normé.