Problèmes de niveau Math Spé PC

Thèmes : Déterminants - Réduction des endomorphismes - Fonctions dérivables - Intégration - Séries entières - Probabilités - Matrices - Fonctions continues -
Mots-clés : Endomorphismes cycliques : divers exemples, caractérisation des endomorphismes cycliques diagonalisables Fonction dilogarithme : définition par une intégrale impropre, développement en série entière, propriété fonctionnelle Etude d'un jeu de sociéte, nombre moyen de tours pour atteindre une case.

Thèmes : Nombres complexes - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens -
Mots-clés : Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, réduction des matrices 2x2 à coefficients positifs, rayon spectral d'une matrice complexe et comportement asymptotique de ses puissances successives, théorème de Perron-Frobenius pour les matrices réelles à coefficients positifs, ou dont une puissance est à coefficients positifs, théorème de Ky Fan.

Thèmes : Polynômes - Séries numériques - Séries entières - Probabilités - Algorithmique -
Mots-clés : Etude de sommes doubles, démonstration de formules combinatoires à l'aide de séries entières, pile ou face infini et probabilité qu'après un certain nombre de lancers, il y a autant de piles que de faces,

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Intégration - Séries numériques - Probabilités - Développements limités -
Mots-clés : Réduction d'un endomorphisme par existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples, séries télescopiques, convergence de séries par développements limités, estimation des nombres harmoniques par comparaison à une intégrale, application à une estimation d'espérance, étude d'une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, régularité d'une intégrale à paramètres, développement en série entière et permutation limite intégrale

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Probabilités - Matrices -
Mots-clés : Modèles matriciels en dynamique des populations, matrices contractantes et itérations, points fixes et valeurs propres d'applications linéaires, convergence de puissances de matrices, processus stochastiques itératifs de type Galton-Watson

Thèmes : Déterminants - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Fonctions convexes -
Mots-clés : Quelques inégalités de convexité autour du déterminant, spectre des matrices symétriques positives et définies positives, trace et déterminant

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Séries entières - Probabilités - Matrices -
Mots-clés : Chaine de Markov en temps continu, noyau de Markov, produit de Cauchy de deux séries entières, loi de Poisson, formule des probabilités totales, inégalité pour un endomorphisme autoadjoint, convergence d'une fonction de matrices

Thèmes : Polynômes - Algèbre linéaire - Intégration - Séries numériques - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Etude d'un endomorphisme sur un espace de polynômes associé à la division euclidienne (diagonalisation, décomposition à l'aide des polynômes de Lagrange), étudie d'une série de piles ou faces, constante d'Euler (définition, expression à l'aide d'une intégrale)

Thèmes : Intégration - Suites et séries de fonctions - Séries entières - Dénombrement -
Mots-clés : Etude asymptotique du nombre de partitions d'un entier, logarithme complexe, intégrale impropre, permutation série/intégrale, continuité d'une intégrale à paramètres

Thèmes : Intégration - Suites et séries de fonctions - Matrices -
Mots-clés : Théorème de Kreiss, inégalité de Spijker, norme matricielle, norme d'opérateurs, topologie dans les espaces de matrices, permutation limite intégrale, convergence normale, variation totale, calcul d'intégrales

Thèmes : Equations différentielles - Intégration - Séries numériques - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Probabilités composées, espérance d'une variable aléatoire, développement en série entière de la fonction exponentielle, convergence d'une série numérique par le critère des séries alternées, calcul de la somme par application du théorème de convergence dominée, diagonalisation simultanée de deux endomorphismes, application à la résolution d'un système différentiel, calcul d'une intégrale impropre à l'aide d'une équation différentielle vérifiée par une fonction définie par une intégrale

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Calcul différentiel - Matrices - Fonctions continues -
Mots-clés : Points fixes d'applications contractantes définies sur des parties fermées de $\mathbb R^\ell$, matrices contractantes et normes associées, fonctions de deux variables, représentation intégrale, régularité, méthode de la sécante

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Algèbre bilinéaire - Probabilités -
Mots-clés : Introduction à l'analyse en composantes principales, réduction d'une matrice symétrique réelle, étude d'un produit scalaire sur un espace de polynômes, rayon spectral d'une matrice symétrique réelle, matrices de covariance, maximisation de la variance

Thèmes : Polynômes - Algèbre linéaire - Espaces euclidiens - Intégration - Suites et séries de fonctions - Séries entières -
Mots-clés : Polynôme de Lagrange, polynômes de Tchebychev, convergence des polynômes d'interpolation pour une fonction de classe $\mathcal C^\infty$, interpolation aux points de Tchebychev, phénomène de Runge, somme de Riemann,

Thèmes : Intégration - Suites - Séries numériques - Suites et séries de fonctions - Probabilités -
Mots-clés : Urnes de Polya, résolution d'une équation fonctionnelle à l'aide d'une série de fonctions, expression intégrale de la solution, approximation de la racine carrée d'un réel positif par la méthode Héron (suites récurrentes), généralisation aux matrices symétriques positives, racines carrées d'une matrice

Thèmes : Déterminants - Espaces euclidiens - Algèbre bilinéaire - Intégration - Séries entières - Probabilités - Dénombrement -
Mots-clés : Marche aléatoire sur $\mathbb Z$, dénombrement des chemins de Dyck, nombres de Catalan, bases de polynômes orthogonaux, déterminants de Hankel

Thèmes : Espaces euclidiens - Algèbre bilinéaire - Fonctions dérivables - Intégration - Séries entières -
Mots-clés : Intégration numérique, méthodes de quadrature, ordre d'une formule de quadrature, polynômes interpolateurs de Lagrange, noyau de Peano, polynômes orthogonaux, polynômes de Tchebychev, méthode de quadrature de Gauss, méthode des trapèzes, nombres et polynômes de Bernoulli, accélération de la méthode des trapèzes

Thèmes : Polynômes - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Intégration - Séries numériques - Suites et séries de fonctions -
Mots-clés : Convergence d'une série alternée, permutation série/intégrale, étude d'un endomorphisme sur un espace de polynômes, diagonalisation, suite récurrente linéaire d'ordre 2, lien avec les matrices, calcul de puissances de matrices, produit scalaire sur un espace vectoriel de polynômes, base orthonormale, projection, calcul de distances, polynômes de Lagrange

Thèmes : Intégration - Séries numériques - Suites et séries de fonctions - Probabilités -
Mots-clés : Variable aléatoire symétrique réelle à forte dispersion, généralités sur les variables aléatoires, calcul de la somme de deux séries, série de Taylor du logarithme sur le cercle de convergence, sommation d'Abel, convergence dominée et intégrales à paramètres

Thèmes : Polynômes - Espaces euclidiens - Algèbre bilinéaire - Probabilités -
Mots-clés : Théorème de Polya-Schur, log-concavité des suites, polynômes réels à racines toutes réelles, théorème de Rolle, polynômes orthogonaux, théorème de Hermite-Sylvester, forme quadratique associé à un polynôme, suite multiplicative au sens de Polya-Schur

Thèmes : Nombres complexes - Polynômes - Intégration - Séries entières -
Mots-clés : Majoration de la norme infinie du produit de deux polynômes en fonction du produit des normes infinies de chaque polynôme, mesure de Mahler d'un polynôme, lien avec les racines d'un polynôme, racines de l'unité, série entière du logarithme

Thèmes : Espaces euclidiens - Algèbre bilinéaire - Calcul différentiel - Intégration - Probabilités -
Mots-clés : Calcul de l’intégrale de Dirichlet en utilisant une intégrale à paramètre, lien entre les extremums d’une forme quadratique sur la boule unité fermée de $\mathbb R^n$ et les valeurs propres d’une matrice symétrique associée à cette forme quadratique, étude du temps de retour à l’origine d’une marche aléatoire sur $\mathbb Z$

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Matrices -
Mots-clés : Matrices symplectiques, structure de groupe des matrices symplectiques, réduction des matrices symplectiques

Thèmes : Fonctions dérivables - Intégration - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Fonction caractéristique d'une variable aléatoire, lien entre la régularité de la fonction caractéristique et l'existence de moments de la variable aléatoire, développement en série entière de la fonction caractéristique.

Thèmes : Fonctions convexes - Séries entières - Probabilités - Fonctions continues -
Mots-clés : Fonctions de Lambert et application en probabilités, identité binomiale d'Abel, développement en série entière de la fonction de Lambert

Thèmes : Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Suites - Séries numériques - Séries entières - Probabilités - Matrices -
Mots-clés : Inversibilité, diagonalisation et trigonalisation d'une matrice à paramètre, convergence d'une intégrale impropre, monotonie d'une fonction définie par une intégrale, théorème de convergence monotone, série entière, produit de Cauchy, application à un calcul de séries numériques, dimension d'un espace vectoriel de matrices, suites récurrentes linéaires d'ordre 2, application à un calcul d'espérance et de variance, polynômes orthogonaux, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, distance à un sous-espace et projeté orthogonal

Thèmes : Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens -
Mots-clés : Théorème de Gerstenhaber, endomorphismes nilpotents, sous-espaces vectoriel nilpotent, matrice triangulaire stricte, représentation des endomorphismes de rang 1 dans un espace euclidien, produit tensoriel, trace

Thèmes : Espaces euclidiens - Intégration - Séries numériques - Séries entières -
Mots-clés : Approximation par des polynômes et des exponentielles-polynômes, fonction gamma, permutation série/intégrale, projection orthogonale, polynômes de Laguerre, produit scalaire sur un espace de fonctions, polynômes orthogonaux

Thèmes : Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Intégration - Matrices -
Mots-clés : Produit de Hadamard de deux matrices, matrices symétriques réelles positives, espace de fonctions à décroissance rapide, produit scalaire et endomorphisme sur cet espace, interpolation

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Equations différentielles - Intégration - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Polynômes de Laguerre et méthode de quadrature de Gauss, équation différentielle du second ordre, étude des solutions développables en série entière, marche aléatoire sur un triangle, nombre moyen de passages, temps d'attente

Thèmes : Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Matrices -
Mots-clés : sous-algèbre, algèbre des endomorphismes laissant un sous-espace stable, codiagonalisabilité de la sous-algèbre des matrices circulantes, dimension maximale d'une sous-algèbre stricte, algèbre transposée, théorème de Burnside

Thèmes : Fonctions dérivables - Intégration - Séries entières - Probabilités - Dénombrement -
Mots-clés : Développement en série entière de la fonction tangente, valeurs de la fonction $\zeta$ aux entiers pairs, suites alternantes d'entiers distincts, permutations aléatoires

Thèmes : Séries numériques -
Mots-clés : Série harmonique décalée, endomorphisme sur un espace de polynômes, endomorphisme et produit scalaire sur un espace de suite, sinus d'une matrice

Thèmes : Equations différentielles - Intégration -
Mots-clés : Intégrales dépendant d'un paramètre, dérivation sous le signe intégral

Thèmes : Equations différentielles - Intégration - Suites et séries de fonctions - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Comportement asymptotique de la somme d'une série entière, démonstration probabiliste par un processus de Poisson, équation différentielle d'Airy

Thèmes : Intégration - Suites et séries de fonctions -
Mots-clés : Etude de la dérivabilité de la somme d'une série de fonctions, formule sommatoire de Poisson

Thèmes : Polynômes - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Probabilités - Matrices -
Mots-clés : Principe du maximum pour les polynômes, valeur minimale d'un polynôme sur un arc, inégalité de déviation, reconstruction d'une suite d'observations bruitées

Thèmes : Polynômes - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Fonctions dérivables - Intégration - Séries entières -
Mots-clés : Polynômes de Legendre : racines, fonctions génératrice, expression intégrale, application à l'approximation d'intégrales. Diagonalisabilité d'un endomorphisme de Rn[X], éléments propres, famille orthonormale pour un produit scalaire sur l'espace des polynômes, calcul de distance

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Fonctions dérivables - Intégration - Suites et séries de fonctions - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Transformée de Fourier, équation de diffusion, schéma numérique de résolution approchée, marche aléatoire

Thèmes : Intégration - Suites et séries de fonctions - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Fonction Zêta, loi Zêta, variable aléatoire discrète sur $\mathbb N$, événements mutuellement indépendants, comparaison série-intégrale

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Intégration - Séries numériques - Séries entières - Probabilités - Algorithmique -
Mots-clés : Réduction d'endomorphismes définis par blocs, séries entières dont les coefficients ont un lien avec la série harmonique, fonction dilogarithme, variance et corrélation du minimum et du maximum de variables aléatoires suivant une loi uniforme

Thèmes : Fonctions dérivables - Séries numériques - Fonctions continues -
Mots-clés : Equation ln(x)=ax, équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y), suites des polynômes d'Abel

Thèmes : Algèbre linéaire - Espaces euclidiens - Matrices - Dénombrement -
Mots-clés : Théorème de Komlos (probabilité qu'une matrice aléatoire soit inversible), lemme de Sperner, antichaine, inégalité d'anti-concentration.

Thèmes : Calcul différentiel - Fonctions dérivables - Intégration - Suites et séries de fonctions -
Mots-clés : Fonctions harmoniques, noyau de Dirichlet, lemme de Riemann-Lebesgue, série de Fourier, problème de Dirichlet, théorème de Liouville, théorème de d'Alembert-Gauss

Thèmes : Intégration - Probabilités - Matrices - Développements limités -
Mots-clés : Matrices dont les coefficients sont égaux à 1 ou -1, inégalité de Hoeffding, formule de Stirling

Thèmes : Algèbre linéaire - Probabilités -
Mots-clés : Déplacement d'un rat dans un labyrinthe, matrices stochastiques, convergence au sens de Cesaro de la suite des puissances d'une matrice, matrices stochastiques irréductibles

Thèmes : Intégration - Séries numériques - Probabilités -
Mots-clés : Exponentielle tronquée, méthode de Laplace, formule de Stirling, formule de Bernstein, tirage de boules dans une urne

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Intégration - Suites et séries de fonctions - Matrices -
Mots-clés : Fonction zeta de Riemann (régularité, variations, comportement au bord), diagonalisation des endomorphismes et des matrices de rang 1, algorithmes sur les nombres premiers, estimations de queues de lois de probabilité

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Equations différentielles - Intégration - Séries entières -
Mots-clés : Solutions d'une équation différentielle homogène et méthode de variations de la constante, convergence d'intégrales impropres, constante gamma d'Euler, recherche des solutions développables en séries entières d'une équation différentielle

Thèmes : Algèbre linéaire - Equations différentielles - Séries entières - Probabilités - Algorithmique - Dénombrement -
Mots-clés : Nombre de partitions de l'ensemble {1,...,n} en k parties, écriture d'une fonction récursive en Python, nombres de Bell, calcul par une série entière, suite des polynômes de Hilbert, fonction génératrice et loi de Poisson, somme de puissances

Thèmes : Suites - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Vitesse de convergence d'une suite (lente, rapide, géométrique), loi faible des grands nombres lorsque la variable aléatoire admet un moment exponentiel

Thèmes : Algèbre linéaire - Déterminants - Réduction des endomorphismes - Suites - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Automate, temps d'attente, loi géométrique, produit de Cauchy de deux séries entières

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens - Intégration - Matrices -
Mots-clés : Matrices symétriques, antisymétriques, orthogonales, lemme de Riemann-Lebesgue, intégrale de Dirichlet, transformée de Laplace, phénomène de Gibbs

Thèmes : Réduction des endomorphismes - Matrices -
Mots-clés : Convergence de suites de matrices, rayon spectral, matrices strictement positives

Thèmes : Espaces euclidiens - Calcul différentiel - Fonctions dérivables - Fonctions convexes - Probabilités - Matrices -
Mots-clés : Entropie d'une variable aléatoire discrète, maximisation d'une fonctionnelle, gradient

Thèmes : Intégration - Suites - Séries numériques - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Théorèmes taubériens, temps de retour à l'origine d'une marche aléatoire

Thèmes : Polynômes - Algèbre linéaire - Déterminants - Séries entières -
Mots-clés : Problème de Waring, wronskien d'une famille de fonctions, annulation du wronskien

Thèmes : Intégration - Séries entières - Probabilités -
Mots-clés : Fonction gamma d'Euler, transformation de Fourier, théorème limite central pour une suite de variables aléatoires suivant une loi de Poisson, fonction caractéristique

Thèmes : Polynômes - Algèbre linéaire -
Mots-clés : Opérateurs de translation et de différence, polynômes à valeurs entières sur les entiers, nombre de surjections

Thèmes : Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Intégration - Suites et séries de fonctions - Géométrie - Probabilités -
Mots-clés : Polynômes de Bernstein : approche géométrique, algébrique et analytique.

Thèmes : Espaces euclidiens - Algèbre bilinéaire - Suites - Probabilités - Matrices -
Mots-clés : Inégalité de Cauchy-Schwartz, matrices de Gram, puissance de Hadamard, interpolation par splines cubiques, jeu de Penney

Thèmes : Intégration - Séries numériques -
Mots-clés : Série harmonique alternée, intégrales de Wallis, intégrales de Dirichlet, transformation d'Abel, comparaison séries/intégrales

Thèmes : Polynômes - Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Equations différentielles - Fonctions dérivables - Intégration - Séries entières - Matrices -
Mots-clés :

Thèmes : Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes - Espaces euclidiens -
Mots-clés : Liens entre les valeurs propres de deux matrices symétriques réelles et celles de leur somme, théorème min -max de Courant-Fischer, inégalités de Weyl et de Ky Fan, résolution spectrale

Thèmes : Polynômes - Algèbre linéaire - Déterminants - Suites - Matrices -
Mots-clés : Suites de Fibonacci et de Lucas

Thèmes : Séries numériques - Probabilités -
Mots-clés : Inégalité de le Cam, méthode de Stein

Thèmes : Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes -
Mots-clés : Sous-espaces vectoriels stables d'un endomorphisme, cas des endomorphismes diagonalisables, cas des endomorphisme nilpotents, existence d'un plan stable pour un endomorphisme sans valeurs propres, lien entre les hyperplans stables de A et les vecteurs propres de la transposée de A.

Thèmes : Fonctions dérivables - Intégration -
Mots-clés : Fonctions tests, fonction à décroissance rapide, produit de convolution, approximation d'une fonction continue par une fonction régulière, distributions, suite de distributions, dérivée de distributions, formule des sauts, continuité et dérivabilité des intégrales à paramètres